Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:12:59

Maclaurin ve Taylor Serileri Konu Anlatımı

Video açıklaması

Buraya herhangi bir fonksiyon çizdim ve bu fonksiyona, polinom kullanarak, yaklaşık değerler bulmak istiyoruz. Bunu yapmak için, fonksiyonun 0'daki değerini bulabileceğimizi varsayıyoruz. Ayrıca, birinci, ikinci, üçüncü ve diğer türevlerini alıp, bu türevlerin de 0 için değerlerini bulabileceğimizi varsayalım. Şimdi, f (0)'ı, f üssü (0)'ı, f'nin (0)'daki ikinci ve üçüncü türevlerini bildiğimizi varsayıyoruz. Şimdi, bu fonksiyona, artan terim sayılı polinomlarla nasıl yakınlaşacağımızı düşünelim. Tek terimli bir polinomumuz olabilir.Bu terim, sabit bir terimdir.Eğer sabit terimimiz varsa, bunu, en azından, f (0) olarak belirlemek isteriz. Eğer böyle yapmak istiyorsak, p(x)'i f(0)'a eşitleyebiliriz. Grafiğini çizmek isteseydim f(0) dan geçen yatay bir doğru olurdu. Diyebilirsiniz ki bu fonksiyon yalnızca 1 değerde yaklaşma sağlıyor, birkaç başka noktada da şansımız yaver gitmiş olabilir ama diğer tüm noktalar için yaklaşık olmayan değerler veriyor. Bence yatay bir doğrudan daha iyi bir fonksiyon bulabiliriz en azından f(0)'ı doğru bulduk. E tabi sabit terimle anca bu kadar olur. Bu bir sabite benzemesede verilen fonsiyonun 0'daki değerini bulacağımzı ve kullanacağımızı düşünüyoruz. Bu hangi sayı olursa olsun alır şuraya eşitleriz. p(x)'in o sayıya eşit olduğunu söyleriz. Grafiği f(0)'dan geçen bir yatay doğru olur. Ama bu yatay doğru yeterince yararlı bir fonksiyon olmadığı için bir kaç kısıtlama daha getirelim. p(0)'ın f(0)'a eşit olmasından başka p üssü (0)'ın f üssü (0)'a eşit olmasını isteyelim mesela . Hem bunu hemde şunu istiyoruz. Polinomumuzun 0'daki türevinin fonksiyonunun 0'daki türevine eşit olmasını istiyoruz. p(x)'I f(0)'a eşitlemişdik, şimdi bir terim daha ekleyelim ki türevleride aynı olsun yani artı f üssü (0) çarpı x bunu biraz düşünelim eğer bunu yeni polinom olarak kullanırsam ne olur ? p(0) nedir ? p(0) eşittir f(0) artı f üssü (0) çarpı 0. Eğer x yerine o koyarsak bu terim 0 olur, o zaman yalnızca p(0) eşittir f(0) kalır ki buda super. En az ilk fonksiyonumuz kadar iyi. Şimdi buradaki türev nedir ? Türev eşittir p üssü (x), bunun türevini alalım şu sadece bir sabit yani türevi 0. Katsayı çarpı x'in türevi ise sadece o katsayı olur yani f üssü (0). Polinomumuzun tirevi f üssü (0) olur. Biraz garip olduğunun farkındayım, p üssü (x) f üssü (0) hangisi sabit, hangisi değişken diye düşünebilirsiniz . Hangisinin sabit, hangisinin değişken olduğunu hatırladığınız zaman mantıklı gelecek. Bu f üssü(0) olacak türevi bir sabit şuradaki de bir sabit fonksiyonumuzun 0'daki türevini alıp o sabite eşitleyebiliriz. Eğer p üssü (x) bu sabite eşitse p üssü (0)'da aynı sabite eşit olacak. Burada hoş olan şey ise bu polinomun sabit terimi ve birinci dereceden teriminin bu fonksiyonun sabit ve birinci dereceden terimlerine eşit olması. x eşittir 0'daki eğimler birbirine eşit, bu iki terimli polinomun bize verdiği değerler fonksiyon değerlerine daha yakın. Şöyle bir şeye benziyor; x eşittir 0'da çizilen bir t doğruya benzeyecek yani bu polinom daha yakın değerler veriyor. Ama ikinci türevlerininde aynı olmasını sağlayarak daha da iyi bir polinom elde edebiliriz. 0'daki polinom değeri birinci ve ikinci türev değerlerinin fonksiyonumuzla aynı olmasını sağlarken ilginç birşey deneyelim. p(x)'I tanımlayalım bu birinci denememizdi, bu ikinci denememiz şuradaki. Şimdi üçüncü denemeye başlamak üzereyiz.Üçüncü denememizde hem 0'daki fonksiyon ve polinomda ki değerlerinin hemde 0'daki fonksiyon ve polinom birinci türevinin aynı olmasına hedefliyoruz. Ayrıca x eşittir 0'da hem polinom hemde fonksiyonun ikinci türevinin eşit olmasınıda istiyoruz. O zaman polinomuma şu iki terimi alarak başlayalım yani f(0) artı f üssü 0 çarpı x, buradakilerle aynı. Şimdi bir terim daha ekleyeceğim. Ekleyeceğim terime başka bir rankle yazayım artı 1 bölü 2. Umarım neden böyle olduğunu anlarsınız artı 1 bölü 2 çarpı fonksiyonumuzun 0'daki ikinci türevinin karesi. Bunun türevini aldığınızda bu 1 bölü 2'nin neden burada olduğunu anlayacaksınız. Şimdi bunun ve türevlerinin 0'daki değerlerini bulalım. p(0)'ı bulursak, p(0) neye eşit olacak ? Şu sabit terimimiz var. 0'daki değerini bulmak istersek bu x ve x kare 0 olacak yani bu terimlern ikiside gidecek. Yani p(0) hala f(0)'a eşit. p(x)'in türevini sarı ile alayım p(x)'in türevinde şu sabit terim gidecek. p(x)'in türevi f üssü (0) yani bunun katsayısı artı x üzeri türev kuralına göre 2 çarpı 1 bölü 2 eşittir 1 çarpı f'nin (0')daki ikinci türevi çarpı x. Sanıyorum şimdi buraya niye 1 bölü 2 koyduğumuzu anladınız, katsayımız 2 kalmasın diye böyle yaptık. Şimdi p üssü (0) nedir ? Buradaki terim 0 olacak o zaman bu sabit sayı kalacak yani f üssü(0) olacak. Şuana kadar üçüncü nesil polinomumuz ilk ikinin özelliklerine sabit.Şimdi ikinci türevde ne olduğunu görelim, bakalım p'nin ikinci türevi neye eşit ? Bu sabit yani türevi 0. İkinci terimin katsayısını alıyoruz f'nin 0'daki ikinci türevi. p'nin (0)'daki ikinci türevi nedir ? f'nin (0)'daki ikinci türeviyle aynı değer olacak bu terimi ekleyerek 0'daki polinom ve fonksiyon değerlerinin yanı sıra birinci ve ikinci türevlerinde birbirlerine eşit olasını sağlıyoruz. Burada bir örüntü olduğunu, bir şablon olduğunu tahmin ettiniz. Eklediğimiz her terim polinomun 0'daki n'inci türevinin fonksiyonun 0'daki n'inci türevine eşit olmasını garantileyecek. Eğer polinomumuza terimler eklemeye devam edersek ilk terim f(0) ikinc terim f üssü (0) çarpı x sonraki terim 1 bölü 2 çarpı f'nin (0)'daki ikinci türevi çarpı x kare olur. Üçüncü türevleri aynı yapmak istersek bir sonra ekleyeceğimiz terim f'nin (0)'daki üçüncü türevi çarpı 1 bölü 2 çarpı 1 bölü 3 çarpı x küp olur. Böyle devam edebiliriz. Yine bir şablon var değil mi ? Görebiliyorsunuz 0'daki dördüncü türevle aynı yapmak istersek, fonksiyonun 0'daki dördüncü türevi çarpı 1 bölü 4 çarpı 1 bölü 3 çarpı 1 bölü 2 çarpı x üzeri 4 ekleriz. Evet bununda doğru olduğunu kendiniz kontrol edebilirsiniz. Eğer yalnızca bu terim olsaydı ve 0'daki 4'üncü türevini alsaydınız fonksiyonun 0'daki 4'üncü türevi ile aynı olurdu. Eklediğimiz terim şöyle oluyor. Fonksiyonun 0'daki n'inci türevi çarpı x üzeri n bölü n faktoriyel, dikkat ederseniz bu 4 faktoriyelle aynı 4 faktoriyel eşittir 4 çarpı 3 çarpı 2 çarpı 1. Buda 3 faktoriyel, 3 çarpı 2 çarpı 1. Burası 2 faktoriyel 2 çarpı 1 buda 1 faktoriyel yani 1. Şunuda 0 faktoriyele bölüyoruz gibi düşünebilirsiniz. 0 faktoriyelde 1'e eşit . Burada kurduğumuz seriye Maclaurin serisi diyoruz. Bu seriyle bir fonksiyona yakın değerler elde ediyoruz ilerde çok önemli sonuçlarda göreceğiz. Şimdi grafiksel olarak inceleyelim sadece fonsiyon ve polinom değerleri eşit olduğunda bu yatay doğruyu elde ediyoruz. Ayrıca 0'daki birinci türevleride eşitlediğimiz de teğet doğruya benzer bir grafik elde ediyoruz. 1 terim daha eklediğimizde şuna benzer bir polinom olabilir. Bir diğer terim şöyle yapabilir. Daha terimler eklediğimizde, polinom değerleri fonksiyon değerlerine gittikçe yaklaşacak özellikle de 0 civarında. Teorik olarak sonsuz adet terim ekleyebilirsiniz. Henüz bunu ispatlamadığım için teorik olarak gidiyorum. Ama sonsuz sayıda terim eklersek tüm türevler eşit olur ve polinom ve fonksiyonun grafikleri birbirine benzer. Bir sonraki videoda daha iyi anlayabilmeniz için fonksiyon örnekleri kullanacağım. Bu arada bir not olarak, Maclaurin serisi Taylor serisinin 0'da ortalanmış özel bir durumudur. Taylor serisini ortalamak için herhangi bir sayı seçebilirsiniz ama şimdilik Maclaurin serisi yapıyoruz.