If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Taylor Polinomu ve Kalan (2. Bölüm)

Bu videoda, hata fonksiyonunu, herhangi bir “b” noktasında sınırlandırıp sınırlandıramayacağımızı göreceğiz. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Video açıklaması

Bu bir önceki videoda hata fonksiyonu kavramına giriş yapmıştık beklenen değer kavramıyla karıştırmaya Özen gösterin Çünkü her ikisi de e harfi ile gösteriliyor İngilizce'de hata anlamına gelen Erol kelimesinden hareketli hata fonksiyonu da e harfi ile gösteriliyor hata fonksiyonu yerine bazen kalan fonksiyonu tabiri de kullanılır Bir önceki videoda tüm bunlara detaylı bir şekilde değilmiş Hatta fonksiyonun fonksiyonun kendisiyle onun yakınsaması arasındaki fark olduğunu da görmüştük Örneğin Burada gördüğünüz mesafe iki çeşittir be noktasındaki hatadır Biz aslında bu farkın mutlak değeri ile ilgileniyoruz Çünkü bazen efekt polinomdan büyüktür bazen de polynome Pakistan bizim asıl ilgilendiğimiz Bu ikisi arasındaki mutlak uzaklık Bu videoda hata fonksiyonunu herhangi bir be noktasında sınırlandırır sınırlandırmaya Cağ ımızı göreceğiz hata fonksiyonu be noktasında o Örneğin bir kasa bitinden küçük ya da ona eşit olabilir mi buna bakacağız bu beyninde A'dan büyük olduğunu var sayacağız Bir önceki videoda Biraz kışkırtıcı bir sonuca ulaşmış tık ve hata fonksiyonunu sınırlandıran bilme olasılığımız olduğunu söylemişti Ada fonksiyonunun enartı 1. dereceden türevinin fonksiyonun enartı 1. dereceden türevine eşit olduğunu da görmüştük Tabii mutlak değerleri de birbirine eşittir fonksiyonun enartı 1. dereceden türevini belirli bir Aralıkta sınırlandırmayı başarabilirsek ki bu Aralık bizim için anlamlı bir Aralık olmalı Örneğin beyi içermeli Evet Bunu başarabilirsek hata fonksiyonunun enartı 1. dereceden türevini de sınırlandırmayı başarabiliriz demektir ardından biraz integral uygulayıp hata fonksiyonunu be noktasında sınırlandırılabilir iz gelin şimdi bunları yapmaya çalışalım Öncelikle efix inen artı bir O yüzden türevi hakkında bazı şeyleri bildiğimiz varsayalım henüz kullanmadığım bir renkliyim evet beyaz olsun bu çizdiğim grafik efix inen artı 1. dereceden türevinin grafiği olsun Ben bu grafiğin yalnızca bu Aralık'taki bölümü ile ilgileniyorum Çünkü Ne de olsa onu Burada gördüğünüz be noktasında sınırlandırmak istiyorum Bu fonksiyonun mutlak değerinin şuraya yazayım o fonksiyonun enartı 1. dereceden türevinin mutlak değerinin özür dilerim küçük en yerine büyük en yazdığım önceki videoda da büyük en ile yazmışım küçükken olmalıydı Umarım hakkımızı karıştırmıyorum Dur Belki bu fonksiyonun enartı 1. dereceden türevinin mutlak değerinin bir üst sınırı olduğunu varsayalım exe belirli bir Aralıkta yer almak koşuluyla fonksiyonun 1m değerinden küçük ya da ona eşit olduğunu varsayalım ilksin bir Aralık içinde yer alması çok beğendim fonksiyon tüm işleri için sınırlandırmaya bilir ama biz bu Aralık içinde kalan işler için bir üst sınırı olup olmamasıyla ilgileniyoruz bunu yazarak ifade edelim exe aile be aralığının bir elemanıdır Aralık hem ayı hem de beyi içeriyor Bu bir kapalı Aralık ek sağa eşit olabilir Bey eşit olabilir ya da bu ikisi arasında yer alabilir genel ifadeyle bu tür evin bir üst sınırı olduğunu söyleyebiliriz Yani bu mm üst sınırdır bu fonksiyon sürekli ise bir üst sınırı olması gerekir Bunu zaten biliyoruz O halde bu fonksiyonun sürekli olduğunu kabul etmemiz gerekiyor ve böylece exe Bu gördüğünüz Aralık'ta yer almak koşuluyla bu fonksiyonun bir üst sınırı vardır altını Çizdiğim bu ifadenin Yani ev fixin enartı 1. dereceden türevinin hata fonksiyonunun en 61 İnci dereceden türevine eşit olduğunu biliyoruz O halde bu söyleyebiliriz yeşile yazayım Hem şunu söyleyebiliriz hata fonksiyonunun enartı 1. dereceden türevinin mutlak değerinin üst sınırı da nedir ilginç bir sonuca ulaştık ama ilk başta yazdığımız ifadeyle pekte ilgi benziyorlar Evet ama bu hatta fonksiyonunun enartı 1. dereceden türevi Neyi nasıl Bulacağımı ileride göstereceğim şu anda bir şekilde onu bildiğimizi kabul ediyoruz ama ileride Onun nasıl bulacağınızı gösterdiğim sorular çözeceğiz hata fonksiyonunun enartı 1. dereceden türevinin mutlak değerinin üst sınırı olduğunu biliyoruz ama biz Aslında hata fonksiyonun bir üst sınırı olup olmadığını bulmak istiyoruz yani fonksiyonun ta kendisinin yani sıfırıncı dereceden türevinin de diyebiliriz bu ifadenin her iki yanında integralini alıp e x ulaşabilecek miyiz Görelim bakalım Bu ifadenin her şu anda integralini alalım soldakini integrali biraz ilginç Çünkü mutlak değerli bir ifadenin integralini alacağız bir integralini mutlak değerini alsaydık çok daha kolay olurdu şanslıyız ki bu da çok zor değil yanındaki boşluğa yazıyor bu yazacaklarım üzerinde sizde Kendi başınıza Lütfen biraz düşünelim de İki seçenek olsun biri bu olsun Diğeri de bu şu anda ikisinin de aynı olduğunu biliyorum buradaki mutlak değerli bir ifadenin integrali iken diğeri de bir integralin mutlak değilim şimdi bunlardan hangisi daha büyüktür dersiniz olasılıkları düşün integrali aldığımız Aralık'ta efex fonksiyonu daima pozitif işaretli ise bu ikisi birbirine eşittir sağdakini de pozitif İşaretli bir ifade mutlak değerden yine artı işareti çıkar ve onun integrali depo ne olur sonrakinde Pozitif Bir ifadenin integrali de pozitif olur ve artı işaretleri ifaden mutlak değeri yine artı işareti Edirne kesede aynı kapıyı açık ara nasıl ilgilenmemiz gereken bölüme fixin negatif olduğu yerlere Fix daima eksi işaretli ise bu ilk sekseni Olsun bu da y ekseni eve Tevfik daima artı işaretli ise burada artı İşaretli bir şeyin mutlak değer var burada artı İşaretli bir şey mutlak değeri var yani her ikisi de pozitif bu iki ifade birbirine eşittir efix Daima negatifse bu integral işleminin sonucu eksi işaretli olur ama ardından onun mutlak değerini alıyoruz Bu işleme gelelim burada mutlak değer dışına artı işaretli çıkacağı için tekrar işleminin sonucu artı işaretli olur yani her iki işlemin sonucu birbirine eşit olur Nasıl ilginç durum efic bu hem pozitif hem de negatif işaretli olabildiği durum yani bu grafikte gördüğünüz gibi bir durum efex böyle bir fonksiyon sa soldaki işlemlere başlayalım grafikte ilk 80'in üzerinde kalan bu alan pozitif yüksek senin altında kalan bu alanda negatif işaretli ve birbirlerini sade eleştirirler Yani bu işlemin sonucu mutlak değerinin integralini alırsanız elde edeceğiniz sonuçtan daha küçük evi X'in mutlak değerinin grafiği şöyle bir şeydir Evet tabii Tüm bu dediklerim bu integral işlemlerinin belirli integral olması durumunda geçerli böyle bir durumda grafiğin altında kalan tüm paralı alanlar pozitif işareti direkt 80'in üzerinde Kalır O halde mutlak değerini integralini aldığımızda elde edeceğimiz sonuç önce integrali alıp ardından da onun mutlak değerini aldığımızda elde edeceğimiz sonuçtan daha ne olur Tabii bu E fixin hem pozitif hem de negatif olabildiği durumlarda geçerli tekrar ettiğim önce integral alırsanız böyle bir grafik elde edersiniz Çünkü bu taralı alan ile bu taralı alan birbirini sadeleştirici için bu yolla daha küçük bir sonuç elde edersiniz mutlak değer alma işlemini daha sonra uygulayacağınız için Sonuç olarak elinizde daha küçük bir sayı vardır genel bir tanım yapalım bir integrali mutlak değeri mutlak değerinin tekrar işleminden küçüktür ya da ona eşittir burada yazdığımız bu ifade de mutlak değerini integrali var yani büyüktür ya da eşittir burada yazdığımız bu ifade Evet yani büyüktür ya da eşittir mutlak değer içinde hata fonksiyonun yani eksin enartı 1. dereceden türevi çarpı değecekse bu eşitsizliğin kullanışlı olma nedeni de şu var bunun bundan küçük ya da ona eşit olduğunu söyleyen bir eşitsizliği miz var ve ben bunun yanı sıra elimizde hesaplayabileceğiniz bir de integral biliyor enartı 1. dereceden türev içeren bir ifadenin integrali en İnci dereceden türev içeren bir ifadedir o halde bu ifade şuna eşittir mutlak değer içinde hata fonksiyonunun en İnci dereceden türev beklenen değer etmedim değil mi iki kavramı karıştırmalıyım Baksanıza Benim bile aklım karışıyor Evet bu hata fonksiyon aslında eyelinere kullansaydım daha iyi olurdu kalan fonksiyonu anlamına gelen r harfini kullanmalıyım ama neyse bu videoda E harfini kullanarak hata fonksiyonunu kastediyorum beklenen değeri Tamam bu hata fonksiyonun elinde dereceden sürebilir O da bundan küçüktür ya da ona eşittir Bu da şundan küçüktür ya da ona eşittir mu halde devam edelim Emin integralini almalıyız en bir sabit olduğuna bu burası em-x olur belirsizin tekrar aldığımız için bunların yanı sıra Bir de sabit temiz olmalı bunu unutmamalıyız genel olarak ifade edelim bir üst sınır tanımlamak istediğimizde bu üst sınırın olabildiğince küçük olması gerekir O halde bu sabit olabilecek en küçük sabit olmalı ne kadar şanslıyız ki bu fonksiyonun herhangi bir noktadaki değil de biliyor Ata fonksiyonunun en İnci dereceden türevinin ama noktasındaki değerinin Sıfıra eşit olduğunu biliyoruz Yukarıda bir yerde yazmıştık galiba önce dereceden türevinin ama noktasındaki değeri sıfıra eşittir Çünkü asıl fonksiyonu ne önce dereceden türevi ile yakınsaması nın en ince deriden türevi birbirine eşittir O halde Gelin bu eşitsizliğin her iki yanında komutasındaki değerlerini bulalım bunu da Şuradaki boşlukla yapayım hata fonksiyonunun en İnci dereceden türevi bu noktasındaki değerinin mutlak değeri mutlak değer içinde sıfır yani 0ah eşittir Bu da küçük ya da eşittir Bu ifadenin ama noktasındaki değeri küçük ya da eşittir hem Ah artık cep eşitsizliğin altını Çizdiğim bu bölümüne bakalım her iki yandan da emarı çıkar alıp eksi Ema küçük ya da Birce Bir önceki videoda ulaştığımız bu koşula dayanarak yazdığımız C sabit ipi eksi emadan büyüktür ya da ona eşittir Buca sabitinin olabilecek en küçük sayı olmasını istiyor isek Yani bu üst sınırın olabilecek en küçük üst sınır olmasını istiyorsak C eksi emaya eşit olmalı bu C doğru olduğunu kanıtladı ımız bu koşulu sağlayan en küçük c olacak o halde c yerine eksi en çarpa yazacağız şimdi bu çok iyi şöyle yazabiliriz hata fonksiyonunun en İnci dereceden türevinin mutlak değeri beklenen değer değil unutmayın nedense E harfini gördüğüm için beklenen değer demiş olmaktan korkuyorum evet bu hata fonksiyonu hata fonksiyonun en İnci dereceden türevinin mutlak değeri küçük ya da eşittir em çarpı ilk seksi a tekrar belirteyim tüm koşulları sağladık exe bu yazdığımız alıp içinde yer alıyor AB kapalı aralığı epey ilerleme de kaybettik enartı 1. dereceden türevden yola çıkıp en ince dereceden süre ve geldik Bakalım daha da ilerleye bilecek miyiz göre Aynı yoldan devam edelim Bu ifadenin doğru olduğunu biliyorsak şöyle yapabiliriz her iki yanında integralini alıp her iki yanında integralini alalım yukarıda şöyle birşey yazmıştık hatırlayın Buradan hareketle şunu yazabiliriz bu ifade eden daha küçük olan bir ifade var ya o da mutlak değer içinde beklenen değer fonksiyonunun gördünüz mü en sonunda beklenen değer dedim galiba değil mi beklenen değer değil Hata fonksiyonu hata fonksiyonu Evet hatta fonksiyonunun en İnci dereceden türevinin integralinin mutlak değeri bunlardan küçük ya da onlara eşit olduğunu yukarıda yazdığımız bu eşitsizlikten hareketle söyleyebiliriz bu çok işimize yarayacak çünkü boşuna eşittir hata fonksiyonunun en eksi 1. dereceden türev Elbette mutlak değer içinde olacak Unutmayalım küçük ya da eşittir Bu ifadeler O da küçük ya da eşittir Bu ifadet bu ifadenin integrali şu eşittir İrem çarpı ilk seksi anın karesi bölü iki Dilerseniz burada Uu dönüşümü de yapabilirsiniz ama benim yaptığım gibi yapmak da çok kolay Elimde bir ifade var Evet evet yani bunu olduğunu farz edebilirim kuvvetini bir arttırıp arttırdım kuvvete bölersem integralini almış olurum değil şunu da tekrar belirteyim belirsizin tekrar alıyorum Bu nedenle de en sona ağartıcı eklemedim aynı örüntüyü devam ettiriyorum bu eşitsizliğin her iki Yanında a noktasındaki değerini bulalım soldaki ifadenin ama noktasındaki değerinin Sıfıra eşit olduğunu biliyoruz Yukarıda yazıyor bakın bir önceki videoda bulmuştuk Evet bu boşluğa yazayım eşitsizliğin Sol Yanı sıfıra eşittir sıfır eşitsizliğin sana yanına noktasındaki değeri deme çarpı aeksi anın karesi bölü iki yani sıfır artıcı sonuç ne oldu Sıfır küçük ya da eşittir cep Daha önce yaptığımız gibi sabit imizin alabileceği en küçük değeri bulmak istiyoruz buradaki üst sınırın alabileceği en küçük değeri Bu nedenle koşulları sağlayan en küçük cesaretin bu koşulları sağlayan en küçük cesareti de sıfırdır şöyle genel eleştirelim Yaptığımız bu işlemleri yapmaya devam edebiliriz takip kapı yaptığımız gibi integral almaya devam edebiliriz ta ki şunu elde edene kadar Ata fonksiyonu yani Exo bunun sıfırıncı dereceden türev olduğunu da düşünebilirsiniz sıfırıncı dereceden türevini yazana kadar aynı işlemleri yapmaya devam etmek gibi düşün sıfırıncı dereceden türevi ne demek hata fonksiyonun kendisini yazmak demek mutlak değer içinde exe küçük ya da eşittir ve ki buraya Ne yazacağız Evet örüntü kavra mısınızdır em çarpı XY anın kuvvet olarak Ne yazacağız kuvvetiyle bunun türevinin derecesinin toplamı en artı bir oldu Bunun türevinin derecesi sıfır olduğuna göre bir olmalı bu kuvveti Herneyse Bu mesajı da ona uygun yazmak zor ve payda en artı bir faktöryel olmalı faktöriyelde nerden çıktı şimdi diyebilirsiniz Bir öncekine bakalım fayda da iki var bunun integralini alırsak ne olur evet bu ifadenin kuvveti 3 olur Ve bu nedenle üçe böleceğiz yani payda iki çarpı üç olur Onun da integralini alırsak onun kuvveti 4 olur ve dörde böleriz yani payda iki çarpı üç çarpı dört olur yani dört faktöryel olur genelleştirmek buradaki kuvvet kaçsana fayda da o kuvvetin Faktöriyeli Anlaştık değil asıl önemli olan şey de şu fonksiyonun en büyük değerini bulmayı başarırsak hata fonksiyonuna be aralığı içinde bir üst sınırının kurtulmayı başarabilir Örneğin meyve bilirsek hata fonksiyonunun Ben noktasındaki üst sınırını bulabiliriz Ata Oh be noktasındaki değerinin mutlak değeri küçük ya da eşittir M çarpı B eksi a üzeri en artı bir bölü en artı bir faktör yer Gerçekten de çok kullanışlı bir sonuç elde etti Bundan sonra bu sonucu kullanabileceğimiz mağaza örnek sorular çözeceğiz