Zincir kuralının bir daha gözden geçirilmesi

Türevler için Zincir kuralına ilişkin bilginizi bir daha gözden geçirin ve problemler çözün.
Zinci kuralı şunu söyler:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)\dfrac{d}{dx}\left[f\Bigl(g(x)\Bigr)\right]=f'\Bigl(g(x)\Bigr)g'(x)
Bu bize başka iki (daha basit) fonksiyonun bileşkesi olan fonksiyonların türevini nasıl alacağımızı söyler—içteki g(x)g(x) fonksiyonu ve dıştaki f(x)f(x) fonksiyonu.

Zincir kuralı ile hangi problemleri çözebilirim?

Zincir kuralı sadece bileşke fonksiyonlar (f(g(x))\greenD{f(}\goldD{g(x)}\greenD{)} şeklinde yazılabilen fonksiyonlar) için geçerlidir. Dolayısıyla, doğal olarak, zincir kuralını kullanabilmek için anahtar becerilerden birisi, bileşke fonksiyonları tanıyabilmektir. Eğer bir fonksiyon bileşke fonksiyon değilse, zincir kuralını kullanamayız.
Örneğin, h(x)=(56x)5h(x)=(5-6x)^5 şu şekilde düşünülebilir:
h(x)=( 56xiçteki )5dıştakih(x) = \greenD{\underbrace{(~\goldD{\overbrace{5-6x}^{\text{içteki}}~})^5}_{\text{dıştaki}}}
burada, içteki ve dıştaki fonksiyonlar bunlardır:
g(x)=56xiçteki fonksiyonf(x)=x5dıştaki fonksiyon\begin{aligned} \goldD{g(x)}&=\goldD{5-6x} &&\text{içteki fonksiyon} \\\\ \greenD{f(x)}&=\greenD{x^5}&&\text{dıştaki fonksiyon} \end{aligned}
Bir bileşke fonksiyonla uğraştığımız için, zincir kuralını kullanarak türev alabiliriz. Ancak, zincir kuralını uygulamadan önce, içteki ve dıştaki fonksiyonların türevlerini bulalım (yapılan işlemler gösterilmemiştir):
g(x)=6f(x)=5x4\begin{aligned} \maroonD{g'(x)}&=\maroonD{-6} \\\\ \blueD{f'(x)}&=\blueD{5x^4} \end{aligned}
Şimdi, zincir kuralını uygulayalım:
ddx[f(g(x))]=f(g(x))g(x)=5(56x)46=30(56x)4\begin{aligned} &\dfrac{d}{dx}\left[f\Bigl(g(x)\Bigr)\right] \\\\ =&\blueD{f'\Bigl(\goldD{g(x)}\Bigr)}\cdot\maroonD{g'(x)} \\\\ =&\blueD{5(\goldD{5-6x})^4} \cdot \maroonD{-6} \\\\ =&-30(5-6x)^4 \end{aligned}

Yaygın yanlışlar

Zincir kuralını uygularken öğrencilerin sık yaptığı üç hata aşağıda verilmiştir:
Çarpımlar ile bileşkeleri karıştırmak: Özellikle transandant fonksiyonlarda (yani trigonometrik ve logaritmik fonksiyonlar), öğrenciler genelde ln(x)sin(x)\ln(x)\sin(x) gibi çarpımları ln(sin(x))\ln(\sin(x)) gibi bileşkelerle karıştırır. Zincir kuralı sadece fonksiyon bileşkeleri için geçerlidir; çarpım kuralını sadece çarpımlar için kullanmalıyız.
İçteki fonksiyonun türeviyle çarpmayı unutma: Yukarıdaki örnekte biz g(x)\maroonD{g'(x)} ile çarptık, ancak çoğu öğrenci bu adımı unutur. Yani, bazı öğrenciler f(g(x))g(x)\blueD{f'\Bigl(\goldD{g(x)}\Bigr)}\cdot\maroonD{g'(x)} yerine f(g(x))\blueD{f'\Bigl(\goldD{g(x)}\Bigr)}'i hesaplar.
f(g(x))f'(g'(x))'i hesaplama: Eğer çok dikkatli değilseniz, yanlışlıkla f(g(x))g(x)f'(g(x))g'(x) yerine f(g(x))f'(g'(x))'i hesaplayabilirsiniz. f(x)f'(x)'in içinde olması gereken fonksiyonun g(x)g(x) olması gerektiğine (g(x)g'(x) değil) dikkat edin.

Ek örnekler

tan(x2)\tan(x^2)'nin türevinin alınmasını düşünün. Eğer u(x)=x2u(x)=x^2 ve v(x)=tan(x)v(x)=\tan(x) ise, bu durumda tan(x2)=v(u(x))\tan(x^2)=v\Bigl(u(x)\Bigr) olduğuna dikkat edin. Bileşke bir fonksiyonla uğraştığımız için, zincir kuralını uygulayabiliriz.
=ddx(tan(x2))=ddx[v(u(x))]Byle olsun:o¨u(x)=x2v(x)=tan(x)=v(u(x))u(x)Zincir kuralı=sec2(x2)2x=2xsec2(x2)\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{d}{dx}\left(\tan(x^2)\right) \\\\ &=\dfrac{d}{dx}\left[v\Bigl(u(x)\Bigr)\right]&&\gray{\text{Böyle olsun:}u(x)=x^2\text{, }v(x)=\tan(x)} \\\\ &=v'\Bigl(u(x)\Bigr)\cdot u'(x)&&\gray{\text{Zincir kuralı}} \\\\ &=\sec^2(x^2)\cdot 2x \\\\ &=2x\sec^2(x^2) \end{aligned}

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

Buna benzer başka problemleri denemek ister misiniz? Bu alıştırmaya göz atın.

Tablolarla örnekler

Bize bu değerler tablosunun verilmiş olduğunu varsayın:
xxf(x)f(x)g(x)g(x)f(x)f'(x)g(x)g'(x)
2-2551-11166
444-42-20088
H(x)H(x), f(g(x))f\Bigl(g(x)\Bigr) olarak tanımlanmıştır ve bizden H(4)H'(4)'ü bulmamız istenmiştir.
Zinci kuralı bize H(x)H'(x)'in f(g(x))g(x)f'\Bigl(g(x)\Bigr)g'(x) olduğunu söyler. Bu, H(4)H'(4)'ün f(g(4))g(4)f'\Bigl(g(4)\Bigr)g'(4) olduğu anlamına gelir. Şimdi, tablodan değerleri fadeye koyalım:
H(4)=f(g(4))g(4)=f(2)8g(4)=2 , g(4)=8=18f(2)=1=8\begin{aligned} H'(4)&=f'\Bigl(g(4)\Bigr)\cdot g'(4) \\\\ &=f'(-2)\cdot 8&&\gray{g(4)=-2\text{ , }g'(4)=8} \\\\ &=1\cdot 8&&\gray{f'(-2)=1} \\\\ &=8 \end{aligned}

Anlayıp anlamadığınızı kontrol edin

Buna benzer başka problemleri denemek ister misiniz? Bu alıştırmaya göz atın.
Yükleniyor