If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:6:25

Eğer u Fonksiyonu x'te Sürekli ise, Bu Durumda Δx→0 iken Δu→0

Video açıklaması

Bu videoda, zincir kuralını kanıtlamak için kullanılan bir kavram hakkında konuşacağız. Evet, elimizde, bir u fonksiyonu var. u(x) Bu fonksiyon, x eşittir c noktasında sürekli. Buna göre, bu bölgede yani c’nin etrafındaki bölgede, u’daki değişim sıfıra yaklaştıkça, x’deki değişim de sıfıra yaklaşır. İşte bu kavramın altında yatan mantığı anlamak ve anlatmak istiyorum. Eğer u, c noktasında sürekliyse, c’nın etrafındaki bölgede x’deki değişim küçüldükçe, yani sıfıra yaklaştıkça, u’daki değişim de sıfıra yaklaşır. Bunu daha iyi anlamak hatta kanıtlamak için, u’nun, x eşittir c noktasında sürekli olmasının ne demek olduğuyla işe başlayalım. Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması, x, c’ye yaklaşırken, u(x)’in limitinin u(c)’ye yaklaşması demektir. Yani, x, c’ye yaklaşırken, fonksiyonun limiti, fonksiyonun c noktasındaki değerine eşit olur. Fonksiyon bir atlama yapmıyor ya da aradaki bir noktada süreksiz değil. Daha önceki videolarda gördüğümüz gibi, eğer fonksiyon atlama yapsaydı, limitini almazdık. Şimdi, bu ifadeyle oynayarak, buradaki sonucu elde etmeye çalışacağım. Bunu yapmadan önce, dikkatinizi çekmek istediğim bir nokta var. u(c), aslında bir değer. Burada fonksiyonmuş gibi duruyor ama aslında, u fonksiyonuna c değerini veriyoruz ve fonksiyon da bize o noktada aldığı değeri veriyor. Kısacası bu bir sayı olacak. 5 olabilir, 7 olabilir, pi olabilir, eksi 1 olabilir. Evet, sabit bir sayı olacak. O halde gelin, bunu bir sabit olarak değerlendirelim ve bu ifadeyi baştan yazalım. x, c’ye yaklaşırken, u(x) eksi u(c)’nin limiti eşittir sıfır. Küçük bir ek, hatırlarsanız, türevli olmanın sürekli olmak demek olduğundan bahsederken, bununla başlayıp, bunu kanıtlamış ve bunların aslında eş değer ifadeler olduğunu söylemiştik. Bakın, x, c’ye giderken, bu ifadenin limitini aldığımızda, bu, u(c)’ye yaklaşacak ve u(c)’den u(c) çıkarsa da sıfır kalacak. Eğer bunun matematiksel olarak da doğru olduğunu kanıtlamak isterseniz, İki taraftan da u(c)’yi çıkarıp limit özelliklerini kullanırsanız, bunu elde edersiniz. Evet, buraya yazdığımız şey ilginç, değil mi? Hatta bizi, c’nin etrafındaki bölgede x’deki değişim küçülüp sıfıra yaklaştıkça, u’daki değişim de sıfıra yaklaşır sonucuna ulaştırabilir. Evet, şimdi, bunu grafik üzerinde gösterelim. Bu x ekseni, bu da u ekseni olsun. Zincir kuralını kanıtladığımız videoda değişken olarak u’yu kullanacağımız için, burada da u’yu kullanalım. Bu da fonksiyonumuz. Burayı c, burayı da uc olarak belirliyorum. Rastgele bir x değeri seçiyorum. Evet, bu da u(x) olsun. u’daki değişim nedir? u(x) eksi u(c). Burada gösterdiğim gibi. Ve yazıyorum. u(x) eksi u(c). x’deki değişim ise, x eksi c. Limitini aldığımız bu ifadeye geri dönüyorum ve x, c’ye yaklaşırken demek yerine, x’deki değişim sıfıra yaklaşırken diyorum. Neden? Çünkü, x, c’ye yaklaşırken, x’deki değişim sıfıra yaklaşır. Evet, delta x sıfıra yaklaşırken, delta u’nun limiti sıfır olur. Unutmayın, bunu u’daki değişim yani delta u olarak tanımlamıştık. Bu, sıfıra eşit. Yani, x’deki değişim sıfıra yaklaşırken, u’daki değişim de sıfıra yaklaşacak. Kısacası, delta x, sıfıra yaklaşırken, delta u da sıfıra yaklaşır, aynen buraya yazdığımız gibi. Tekrar ediyorum, fonksiyon sürekli olduğu için, süreksiz bazı fonksiyonlar için aynı şeyi söyleyemeyiz, x’deki değişim küçüldükçe, fonksiyondaki değişim de küçülür. Bir sonraki videoda, zincir kuralını kanıtlarken bunu kullanacağız.