eᶜᵒˢˣ⋅cos(eˣ)'in Türevi

Zincir ve çarpım kurallarını kullanarak, burada gördüğünüz garip ifadenin türevini alacağız. Evet, e üzeri kosinüs x çarpı, kosinüs e üzeri x’in türevi. Yeteri kadar garip değil mi? Bunu, iki fonksiyonun çarpımı olarak değerlendirebiliriz ve çarpım kuralını uygularsak, e üzeri kosinüs x’in, x’e göre türevi çarpı kosinüs e üzeri x, artı, birinci fonksiyon, yani, e üzeri kosinüs x çarpı ikincinin türevi. Kosinüs e üzeri x’in, x’e göre türevini hesaplayacağız. Şahane! Şimdi, bu iki ifadenin türevlerinin ne olduğunu bulmamız gerkiyor. Bu noktada zincir kuralı devreye girecek. Tekrar edeyim, bunu, çarpım kuralını uygulayarak bulduk, bunların türevlerini almak için de, zincir kuralını uygulayacağız. Baştan yazmamak için, hemen şunu kopyalayıp, buraya yapıştıralım. Kopyala! Yapıştır! e üzeri kosinüs x’in türevi. Dıştaki fonksiyonu, e üzeri bir şey olarak düşünün. Mesela, buradaki gibi, e üzeri kosinüs x, e üzeri bir şeyin, o şeye göre türevi, Yani e üzeri kosinüs x’in, kosinüs x’e göre türevi, e üzeri o şeydir, yani e üzeri kosinüs x’tir. O halde, farklı bir renkle yazalım. e üzeri bir şeyin, o şeye göre türevinin, e üzeri o şey olduğunu söylemiştik. e üzeri kosinüs x. Şimdi bunu, o şeyin x’e göre türeviyle çarpmamız gerek. Kosinüs x’in, x’e göre türevi, eksi sinüs x’tir. Çarpı eksi sinüs x. Burası bitti. Şimdi, ikinci türeve geçmeden, burada ne yaptığımızı bir kere daha tekrar edelim. Morla yazdığım şey, e üzeri kosinüs x’in, kosinüs x’e göre türevi. Bu da, kosinüs x’in, x’e göre türevi. Bunların ikisini çarptığımızdaysa, bunu elde ediyoruz, Evet, bu, zincir kuralının bir sonucu. Şimdi sıra ikinci türevde, yani, kosinüs e üzeri x’in, x’e göre türevini alacağız. Kopyalayalım, Yapıştıralım. Önce, bir şeyin kosinüsünün, ya da burada verildiği gibi, e üzeri x’in kosinüsünün, e üzeri x’e göre türevini alacağız ve bu da, eksi sinüs e üzeri x olacak. Tekrar ediyorum, kosinüs e üzeri x’in, e üzeri x’e göre türevi, eksi sinüs e üzeri x’tir. Şimdi, bunu da, e üzeri x’in, x’e göre türeviyle çarparsak, yani, e üzeri x’le çarparsak, işimiz bitmiş olacak. Bir hatırlatma daha, bu da, e üzeri x’in, x’e göre türevi. Burada bulduklarımızı, çarpım kuralını uyguladığımız satıra taşırsak, o garip ifadenin türevini bulacağız. Şimdi, her şeyi en baştan, buraya, yazalım. Bunu alalım, kopyalayalım ve yapıştıralım. Evet, bunun türevi, bu, çarpı bu. Bakalım. Eksiyi başa yazabiliriz. Eksi e üzeri kosinüs x çarpı sinüs x çarpı kosinüs e üzeri x. Birinci ifadeyi bitirdik. Artı, e üzeri kosinüs x çarpı bu. Yine, eksiyi başa yazalım, eksi e üzeri x çarpı e üzeri kosinüs x. Aynı tabanda oldukları için, isterseniz üsleri de çarpabilirsiniz ama ben öyle bırakacağım. e üzeri x çarpı e üzeri kosinüs x çarpı sinüs e üzeri x. Eksi sinüs e üzeri x çarpı e üzeri x vardı, onu, e üzeri kosinüs x’le çarptık ve bunu elde ettik. Hepsi bu kadar, bitti!