If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

?ˣ ve kapalı fonksiyon türeviyle ln(x)'in türevi

ln(x)'in türevini, e^x'in tersi olarak görerek nasıl bulabiliriz? Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Video açıklaması

Biliyoruz ki e üzeri x in x e göre türevi e üzeri x e eşittir. Bence matematikteki en etkileyici şeylerden birisi budur. Ve bu bende e sayısına karşı büyük bir saygı uyandırıyor. Ama şimdi yapacağımız şey bu değil, yani sadece e sayısını methetmeyeceğiz. Esas üzerinde düşünmek istediğimiz şey, ters fonksiyonun türevinin ne olduğudur. Doğal logaritmanın x e göre türevi nedir? Bir fonksiyonun türevini biliyorken bunu defalarca yapmıştık ve şimdi yapmak istediğimiz şey, ters fonksiyonun türevini bulmak. y eşittir doğal logaritma x olsun. Bu ifade, ‘y, x i elde etmek için e nin üzerine koyduğumuz kuvvettir.’ demenin bir başka yoludur. Yani bu, e üzeri y eşittir x demekle aynı şeydir. Tamam. Şimdi bu eşitliğin her iki tarafının x e göre türevini alabiliriz. Haydi yapalım. Her iki tarafın x e göre türevini alalım. Biraz dolaylı olarak türev alma işlemi uygulayacağız. Bu, gerçekten, sadece zincir kuralının bir uygulamasıdır. Yani, sol taraf, e üzeri y nin y ye göre türevi, yani e üzeri y çarpı y nin x e göre türevine eşit olacaktır. Sağ tarafı incelersek x in x e göre türevi 1 dir. Bu denklemi türev için çözecek olursak her iki tarafı da e üzeri y ye böleriz. Böylece, y nin x e göre türevi eşittir 1 bölü e üzeri y sonucunu elde ederiz. Güzel! y neye eşittir? y nin doğal logaritma x e eşit olduğunu biliyoruz. Şimdi bunu buraya yazalım. Bu, 1 bölü e üzeri doğal logaritma x e eşittir. e üzeri doğal logaritma x neye eşit olacaktır? Doğal logaritma x, x i elde etmek için e nin üzerine koymam gereken kuvvettir. Yani aslında e nin üzerine bu kuvveti ya da bu üssü koyarsam x elde ederim. Bu ifade 1 bölü x e eşit olacaktır. Yani bu, x e sadeleştirilir. Evet, işimiz bitti. Eğer y, doğal logaritma x e eşitse, y nin x e göre türevi de 1 bölü x tir. Ya da doğal logaritma x in x e göre türevi, 1 bölü x e eşittir diyebilirsiniz. 1 bölü x. Bu da matematikteki etkileyici sonuçlardan bir tanesidir. Belki bunun kadar heyecan verici değil ama yine de bayağı etkileyici.