Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:3:08

?ˣ ve kapalı fonksiyon türeviyle ln(x)'in türevi

Video açıklaması

Biliyoruz ki e üzeri x in x e göre türevi e üzeri x e eşittir. Bence matematikteki en etkileyici şeylerden birisi budur. Ve bu bende e sayısına karşı büyük bir saygı uyandırıyor. Ama şimdi yapacağımız şey bu değil, yani sadece e sayısını methetmeyeceğiz. Esas üzerinde düşünmek istediğimiz şey, ters fonksiyonun türevinin ne olduğudur. Doğal logaritmanın x e göre türevi nedir? Bir fonksiyonun türevini biliyorken bunu defalarca yapmıştık ve şimdi yapmak istediğimiz şey, ters fonksiyonun türevini bulmak. y eşittir doğal logaritma x olsun. Bu ifade, ‘y, x i elde etmek için e nin üzerine koyduğumuz kuvvettir.’ demenin bir başka yoludur. Yani bu, e üzeri y eşittir x demekle aynı şeydir. Tamam. Şimdi bu eşitliğin her iki tarafının x e göre türevini alabiliriz. Haydi yapalım. Her iki tarafın x e göre türevini alalım. Biraz dolaylı olarak türev alma işlemi uygulayacağız. Bu, gerçekten, sadece zincir kuralının bir uygulamasıdır. Yani, sol taraf, e üzeri y nin y ye göre türevi, yani e üzeri y çarpı y nin x e göre türevine eşit olacaktır. Sağ tarafı incelersek x in x e göre türevi 1 dir. Bu denklemi türev için çözecek olursak her iki tarafı da e üzeri y ye böleriz. Böylece, y nin x e göre türevi eşittir 1 bölü e üzeri y sonucunu elde ederiz. Güzel! y neye eşittir? y nin doğal logaritma x e eşit olduğunu biliyoruz. Şimdi bunu buraya yazalım. Bu, 1 bölü e üzeri doğal logaritma x e eşittir. e üzeri doğal logaritma x neye eşit olacaktır? Doğal logaritma x, x i elde etmek için e nin üzerine koymam gereken kuvvettir. Yani aslında e nin üzerine bu kuvveti ya da bu üssü koyarsam x elde ederim. Bu ifade 1 bölü x e eşit olacaktır. Yani bu, x e sadeleştirilir. Evet, işimiz bitti. Eğer y, doğal logaritma x e eşitse, y nin x e göre türevi de 1 bölü x tir. Ya da doğal logaritma x in x e göre türevi, 1 bölü x e eşittir diyebilirsiniz. 1 bölü x. Bu da matematikteki etkileyici sonuçlardan bir tanesidir. Belki bunun kadar heyecan verici değil ama yine de bayağı etkileyici.