If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Çözümlü Örnek: Bileşik Üstel Fonksiyon Türevi

Orijinal videoda Sal, [ln(x)]ˣ bileşik üstel fonksiyonunun türevini alıyor ve türevin x=e'deki değerini buluyor. Bileşik üstel fonksiyonlar, değişkenin hem tabanda hem üste olduğu fonksiyonlardır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Video açıklaması

2'ye e Lennox üzeri x Evet buna eşit olsun Bizden yeğenini x göre türevini bulmamız istersin şimdi videoyu durdurup Öncelikle Kendi başınıza yapıp yapamayacağınızı görmenizi istiyorum Bu ifade ilk bakışta biraz korkutucu görünebilir herhangi bir sabit sayı üzeri x biçimindeki ifadelerin tür Emin'in nasıl alınacağını biliyoruz Peki bir fonksiyon üzeri x biçimindeki Bir ifadenin ki Bu soruda verilen bu doğal logaritma fonksiyonu üzeri ifadesinin türevi nasıl alınır acaba Bu sorunun yanıtı logaritma fonksiyonunun özelliklerinde yatıyor ardından da kapalı türev kullanacağız ilk olarak bunu biraz daha sağ yazayım da solunda yer açayım Mehmet'e Lennox üzeri exe Pekala öncelikle bu kuvvet olarak yazılmış olan bu üç Sen kurtulmam gerekiyor ardından da bir yolunu bulup çarpma kuralını uygulaya bilmeli biz bunları yapabilmek için eşitliğin her iki yanının doğal logaritma sını alacağız bunun Bize Nasıl bir yararı var diyebilirsiniz kuvveti olan bir ifadenin doğal logaritma sını alırsak o ifade şuna eşit olur En iyisi yazayım logaritmanın özellikleri konusundan hatırlıyorsunuz Dur Belki yine doğal logaritma Ben gidelim elimizde Elena üzeri B biçiminde bir ifade varsa bu şuna eşittir be çarpı Elena Bu logaritmanın temel özelliklerinden biridir eşitliğin her iki yanında doğal logaritma sını alırsak kuvvet olarak yazılmış olan bu ilk doğal logaritma fonksiyonunun başına çarpan olarak gelir exe başa Geçer şimdi eşitliği yeniden yazalım Elen ye eşittir x x mavi ile yazayım Evet x çarpı pln x Affedersiniz yanlış ol O yanlış oldu x çarpıp Elen Elen exe Yazmam gerekir Öyle değil mi mi Evet şimdi her iki yanında doğal logaritmasını alınca logaritmanın bu özelliğini kullandık ve bu ifade geldi Şöyle diyebilirsiniz İyi de bunun bize nasıl bir yarar oldu Şimdi artık eşitliğin her iki yanında türevini alabiliriz eşitliğin sağ yanını biraz daha sağ kaydırıyorum ki türev operatörüne yer açılsın yüzlerle biraz sağa kaydım şimdi dediğin her iki yanından da ise göre türevini alacağım eşitliğin sol yanının x göre türevi ve ayrıca sağ yanında ilkse göre türev sol yanda zincir kuralını uygulayacağım kapalı türev konusunu öğrenirken zincir kuralını öğrenmiştik Öyle değil mi mi dıştaki fonksiyonun işteki fonksiyona göre türevi eleniye nin ye ye göre türevi Yani bu türev 1/7 bir çarpık içteki bu videonun x götürebilirim yani de ye bölü de is bu ifade eşittir ki şimdi işler burada biraz ilginç içecek Gelin bu yanda bazı işlemler yapalım Burada ilk olarak çarpma kuralını uygulayacağız ilk derimin türevi Yani bir çarpı ikinci Terim çarpı Elen Elen exe artı birinci Terim yanii x çarpı ikinci Terim'in türev Peki Elen Elen X'in türevi nedir şimdi bunu ayrı bir yerde düşünelim Elen Elen içsin x göre türevini Evet bunu bulmak istiyorum Burada yine zincir kuralı uygulayacağım önce dıştaki fonksiyonun işteki fonksiyona göre türevini alacağım Ve bu da şuna eşittir bir bölümü eğlenek söyledim şarkıyı içteki fonksiyonun x göre türevimi yani çarpı bir bölüm mi Evet bu ifade şuna eşitmiş 1/2 x çarpı ele NX altını Çizdiğim bu ikinci fonksiyonun türevi bir bölü exe çarpı ele nx5 Evet bu 2x bir birini götürür şimdi eşit birimizi yeniden yazalım bir bölü ye çarpı Bey'e bölümde Exo eşittir Elen eğlen x artı bir bölü Helen expec bu tür ev bulmak için eşitliğin her iki yanında y ile çarpalım Sol Yanında y ile çarpacağız Sayan'ı da ve ki bu durumda sonuç ne olur y ile çarpma nedenimiz buydu zaten Sol yanda sadece dedeye bölümde x kalır eşittir ye bize en başta verilen fonksiyonda Öyle değil mi yeelen exe üzeri x eşit buraya yeniden yazayım bu ve eğlen x üzeri 2x eşit olarak verilmiştir Yani bu eşitliğin her iki yanını da eğlen x üzeri x ile çarptık Aslında Burası biraz daha karışacak dağılma kuralını uygulamadan da yazabiliriz Tabii en iyisi böyle bırakalım Peki Davullar çalmaya başlasın eşittir elenen elenen x artı bir bölü ele Nex bu ifadeyi de şununla çarpacağız eğlenip x üzeri Express çözüm dediğimiz böyle olur biri Şu soruyu sorabilir exeye eşit olduğunda yeğenin türevi nedir Yani x y eşit olduğunda son yazdığımız bu eşitliğin neye eşit olacağını sorarlarsa exe yerine e yazarak buluruz Öyle değil mi Bu soruyu şu anda uydurdum videonun başında bize sorulan soru bu değildi en başta şöyle sorulsaydı exeye eşi Allah yolunda dedeye bölü dek senedir denseydi eksi yerine yazarak soruyu yanıtladı KTÜ mikserin yerine e yazacağız Evet seçme nedenim ortaya çıkacak işlemler yapmanın kolay olması tabi Evet Ele Ne 1E eşittir Elem Bir de yani Ele Ne üzeri 0 da sıfıra eşittir Ele Ne 1E eşittir parantez içindeki bu ifade yani sıfır artı bir bölü 1 1E eşittir Ele Ne bir eşittir Burası bir üzere olur Heh bir hangi kuvveti ne alırsanız alın sonuç birdir tüm ifade bir çarpı bir haline geldi ve o da belirler bu soruyu bize çok iş çıkarmayacak birisi diğer için çözmenin eğlenceli olacağını düşünmüştüm Öyle oldu