If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

İspat: ln (x) 'in Türevi 1 / x'e Eşittir

Türevin ve e’nin limit tanımından yola çıkıp logaritma özelliklerini kullanarak ln(x)’in türevinin 1/x’e eşit olduğunun ispatı.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Video açıklaması

Selam Bu videoda size ve kendime için doğal logaritma sının x göre türevinin bir bölümü ise Evet buna eşit olduğunu ispatlayacağım hazırmısınız türevin tanımlarından birini kullanacağım hemen yazıyorum melenk sin x göre türevi limit deltanox sıfıra giderken e Lennox artı Delta eksi elenen x bölü Delta x eşittir Şimdi de birkaç logaritma özelliğinden faydalanacağız yazayım Elena eksi Elen beğenin Elena bölü Bey'e Evet buna eşit olduğunu biliyoruz Öyle değil mi bu özelliği Eğer buraya uygularsak limit delta ec sıfıra giderken Payı elenen x artı delta2 x bölü x olarak yazacağım bölü Delta ise Evet bölü Delta is burada yaptığım şey bu özelliği uygula ya hani bir şeyin doğal logaritması eksi başka bir şeyin doğal logaritma sını iki ifadenin bölümünün doğal logaritması olarak Yazmak logaritmanın İçine bakalım x bölü x bir eder deltafx böyle eksi olduğu gibi bırakalım Bunun yerine bunu kullanacağım bir bölü Delta eksi de buraya alayım Hah eşittir limit delta ec sıfıra giderken başka bir renk seçim bir bölü Delta Exo çarpı bir artı Delta x bölü x'in doğal logaritması Parantezi de kapayın şimdi bir başka özellik Daha kullanacağım buraya yazıyor elimizde Ağa çarpı beğenin doğal logaritması varsa bu be üzeri anın doğal logaritma sına eşittir öyle değil Bunu buraya uygularken bunun Ah bunun da be olduğunu düşünelim O halde limit Delta ilk sıfıra giderken bir artı Delta x bölü x üzeri Bu bir bölü Delta eksin doğal logaritması yazabilirim ifadenin bu kısmının size tanıdık gelmeye başladığını zannediyorum Evet Sizce de bu enenin tanımlarından birine benzemeye başlamadı mı tam olarak beğenin tanımı olması için de ufak bir değişken değiştirmesi yapacağım Neyi Delta II x bölü x olarak ifade edelim iki tarafı ise çarparsak Delta ixion ne çarpı ise eşit olduğunu buluruz ifadenin iki tarafını da ne ile çarpıp Bir de yerlerini değiştirince Evet devam edelim Bu durumda bir bölü Delta xd bir bölü en x eşit olur Bunu bir bölü en çarpı bir bölü x olarak da ifade edebiliriz Şimdi de bunları yerlerine yerleştirelim ama bundan önce Delta ilk sıfıra giderken E ne olacağına bakmamız lazım yazıyorum delta ec sıfıra giderken O ne de sıfıra yaklaşır Öyle değil mi 0/2 X'in sıfırdan farklı herhangi bir değeri için sıfıra eşittir sıfır ikisinin doğal logaritmasının tanım kümesinde olmadığı için de bizim için bir sorun teşkil etmiyor Evet tanım kümesi içinde sorun olmadığına göre delta ec sıfıra giderken ne de sıfıra gider benzer şekilde ne sıfıra giderken de lx0 a gider Evet değişken değişimini yapalım hemen yazıyorum limit deltanox yerine Ne yazacağız Evet ne sıfıra giderken bir artı Delta x bölü x yerine ne yazıyorum bir artı ne üzeri bir bölüne çarpı 1/2 X'in doğal logaritması bir bölü Delta iksi bir bölüme çarpı 1/2 olarak tanımlamış tık evet doğru buraya bir bölünmeye çarpı 1/2 XY yazıyor Şimdi de bu özelliği bu tersten kullanacağım ya da isterseniz önce bunu baştan Gazi Mehmet eşittir limit ne sıfıra giderken elenbir artı ne üzeri bir bölü en bu ifadenin üstü Eğer iki ifadenin çarpımı ise bunu ifadenin üssün üssü olarak yazabilirim Öyle değil mi Evet üste özellikleri kullanarak bunu bir artı ne üzeri bir bölü en üzeri 1/2 x olarak yazdım şimdi bunu tersine kullanacağım ve 1/2 XY başa getireceğim Ayrıca ne sıfıra giderken bir bölü ilk bu durumdan etkilenmeyeceği için 1/2 XY limitinde dışına alabilirim Evet heyecanlanmaya başladı değil mi eşittir 1 bölü x çarpı limit en sıfıra giderken bir artı Ne turuncuyla yazıyım üzeri bir bölünenin evet doğal logaritması limit alırken durumdan etkilenecek olan nelerin olduğu ifadenin bu kısmı oldu bu göre bu kısmı limitini alacağımızı düşünelim eşittir kendime birazcık yara Çin eşittir 1 bölü x çarpı Elen limit en sıfıra giderken bir artı ne üzeri bir bölüne evet parantezin içinde ne var soru bu eğlenin tanımlarından biri öyle değil mi Evet bu öğenin tanımlarından biridir o halde eşittir e yazıyorum Peki enin doğal logaritma seneye eşittir bire öyle değil mi ve bir bölü x bir çarpınca da 1/2 selde ederiz Tamda aradığımız Sonuç bu ilksin doğal logaritma sneak s göre türevi 1/2 x eşittir harika Değme web