Fonksiyonun Türevi İçin Limit İfadesi (grafiksel)

f fonksiyonu grafiği yardımıyla aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. İlk bulacağımız limit değeri x, 3 e giderken f(x) eksi f(3) bölü x eksi 3 ün limiti. x eşittir 3 noktasını ele alalım. Burası tam olarak f(3)'ün değerini verir. Ya da şöyle diyelim, f(3)'ün değeri, 1'dir. Evet, bu nokta (3,f(3)) noktası. Özellikle x, 3 e yaklaşırken her hangi bir x değeri ile bu nokta arasındaki eğimi bulmaya çalışıyoruz. Yani 3 ten büyük bir x değerini mesela bu noktayı ele alabiliriz. Eğer (x ,f(x)) ve (3,f(3)) noktaları arasındaki eğimi bulmaya çalışsaydık bu ifadeyle tam olarak aynı formda bir şey elde edecektik. Bitiş noktamız f(x)'tir. Yani f(x) eksi f(3), dikey eksendeki değişimi ifade eder. Bu uzaklık, dikey eksendeki değişim miktarını verir. Bu ifadeyi, yatay eksendeki değişime, diğer bir ifadeyle x değerindeki değişim miktarına böleceğiz. Yani x eksi 3 e böleceğiz. Bunu herhangi bir x değeri olarak aldığım zaman bu ifade, sahip olduğum yukarıdaki ifade ile tam olarak aynı şeydir. Ve bu eğimin, sadece bu iki nokta arasındaki doğruya bakarak negatif 2 olduğu görülüyor. Bu noktaya diğer taraftan yaklaştığımız takdirde de eğim aynı çıkacaktır. x, 3 ten küçük olsaydı eğimimiz yine negatif 2 olurdu. Her iki şekilde de eğimimiz negatif 2'dir. Bu nokta oldukça önemli çünkü bu limit, x, 3'e yaklaşırken bu ifadenin limitidir. Yani x, 3'e sağdan da yaklaşabilir soldan da. Ama her iki durumda da bu noktaya yaklaştıkça eğim, negatif 2'dir. Şimdi, burada bize ne sorduklarını düşünelim. 8 ve f(8) değerlerimiz var. Biraz düşünelim. Bu nokta (8,f(8)) noktası. Yani burası (8, f(8)). f(8+h) diye bir ifademiz daha var. Tahminen, ilk yapmak isteyeceğimiz şey, (8 artı h)'nin buralarda bir yerlerde olduğunu söylemek olacak. Yani 8'den büyük bir değer olacak diye düşüneceğiz. Ama burada h, 0'a soldan yaklaşırken limit değerinin istendiğini görüyoruz. 0'a soldan yaklaşmak demek, 0'dan küçük değerler üzerinden yaklaşıyorsunuz demektir. Yani negatif 1, negatif 0.5, negatif 0.1 ve negatif 0.0001 üzerinden 0'a geliyorsunuz. Yani h, aslında negatif bir sayıdır. 8 artı h'yi her hangi bir değer olarak alabiliriz. Mesela, bu nokta gibi bir şey olabilir. Yani bu x değeri, 8 artı h'dir. Bu ifade, yine bu iki nokta arasındaki eğimdir. h, 0'a soldan yaklaşırken, bu ifadenin limitini alacağız. h, 0'a yaklaştıkça burası da sağa doğru hareket eder ve bu noktalarda birbirlerine yaklaşırlar. Yani kabaca bu ifade, bu doğrunun eğimini verir. Ve görüyoruz ki eğim sabittir. Bu aralık üzerinde bu doğrunun eğimi nedir? Grafiğe bakıp görebilirsiniz. Bakalım. x değeri 1 birim değişirken f(x) değeri de 1 birim değişiyor. Yani bu doğrunun eğimi 1'dir. Eğer h, 0'a sağdan yaklaşırken bu ifadenin limiti sorulsaydı bu tamamen farklı bir şey olurdu. O zaman buradaki noktalara bakardık. Ve yavaş bir şekilde dik bir eğime yani sonsuz bir eğime yaklaştığımızı görürdük.