Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar

Bu videomuzda, rasyonel ve irrasyonel sayıları ele alacağız. Rasyonel sayılarla başlayalım. İki tam sayının birbirine oranı olarak ifade edilebilen her sayı, rasyonel bir sayıdır. Tamsayılar, rasyonel sayılardır. Örneğin 1. 1 sayısını 1 bölü 1 olarak, veya eksi 2 bölü eksi 2 olarak veya 10,000 bölü 10,000 olarak ifade edebiliriz. Bunların hepsi, 1 sayısının değişik şekillerde ifade edilmesi. 1 sayısını, iki sayının birbirine oranı olarak ifade edebildik. 1 sayısını, bir sayıyı kendisine bölerek, sonsuz değişik şekilde ifade edebiliriz. Şimdi de eksi 7'ye bakalım eksi 7 bölü 1 veya 7 bölü eksi 1 veya eksi 14 bölü 2 olarak ifade edilebilir. Örnekleri sonsuza kadar çoğaltabiliriz. eksi 7 sayısı da iki tam sayının birbirine oranı olarak ifade edilebilir. Peki tam sayı olmayan sayılara ilişkin ne söyleyebiliriz? Mesela 3.75 sayısını, iki tamsayının birbirine oranı olarak nasıl ifade edebiliriz? 3.75 eşittir 375 bölü 100 eşittir 750 bölü 200 diyebiliriz. 3.75'i 3 tam 3 bölü 4 olarak yazabiliriz. Bu da eşittir 15 bölü 4. 3 kere 4 eşittir 12 artı 3 bu eşittir 15, bölü 4. Ve bu da eşittir eksi 30 bölü eksi 8. 15 bölü 4'ün hem payını hem de paydasını eksi 2 ile çarptım. Demek ki 3.75'i de iki tam sayının birbirine oranı olarak ifade edebiliyoruz, yani bu da rasyonel bir sayı. Rasyonel kelimesine dikkat edelim. Kelimenin içinde 'rasyo' geçiyor. Belki içinizden bazıları rasyo kelimesinin oran anlamına geldiğini biliyordur. Rasyo ingilizce söylenişiyle ratio. Eğer bir sayıyı iki sayının rasyosu olarak ifade edebiliyor isek, o sayı rasyonel sayıdır. Peki, tekrarlayan ondalık sayılar için ne söyleyebiliriz? Muhtemelen tekrarlayan ondalık sayıların en ünlüsü bu: 0.3333.. diye gidiyor 3'ler sonsuza kadar devam ediyor. 0'dan sonra bir sürü 3 yazmak yerine, 3'ün üstüne bir çizgi koyarak, bir çizgi çekerek 3'ün tekrarladığını gösterebiliriz ve öyle yazalım hatta. Ve bu sayıyı da 1 bölü 3 olarak gösterebiliriz değil mi. Veya 0.666 666.. sayısını, 2 bölü 3 olarak gösterebiliriz. Sayı kendisini tekrarlıyor ise, bu sayıyı da iki sayının birbirine oranı olarak gösterebiliriz. Diyebilirsiniz ki: 'Neredeyse bütün sayıları kapsadık. Pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ondalıklı sayılar, tekrarlayan ondalıklı sayılar, bunların hepsi rasyonel sayılar. Peki rasyonel olmayan sayılar da var mı?'. Evet, rasyonel olmayan sayılar da var. Eğer zaten irrasyonel sayılar olmasaydı, 'rasyonel sayılar' diye bir gruplamaya gerek kalmazdı. Aslında, matematik dünyasının en ünlü sayılarının çoğu, irrasyonel sayılar. Rasyonel olmayan sayılar. Bunlara irrasyonel sayılar deniyor. İrrasyonel sayıların en ünlüsü, pi sayısı. Evet doğru hatırladınız: Dairenin alanını veya çemberin çevresini hesaplarken kullandığınız pi sayısı. Pi sayısı, irrasyonel bir sayı. Sonsuza kadar devam ediyor, ve tekrarlamıyor. e sayısı da aynı şekilde. Sonsuza kadar devam ediyor ve tekrarlamıyor. Karekök 2 de bir irrasyonel bir sayı. Altın oran. Sonsuza kadar devam ediyor, ve tekrarlamıyor. Bu sayılar, doğada bulunan sayılar. 'Bunlar çok özel sayılar, irrasyonel sayılar çok az olmalı' diye düşünebilirsiniz. Bir sonraki videomuzda bu konuya daha detaylı değineceğiz. Herhangi iki rasyonel sayının arasında, en azından bir tane irrasyonel sayı oluyor. Buraya örnek olarak karekök 2'yi yazdım ama şunu düşünün, tam kare olmayan herhangi bir sayının kare kökünü aldığınızda, sonuç irrasyonel bir sayı olur. Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayıyı toplarsanız, sonuç irrasyonel bir sayı olur. Rasyonel bir sayı ile yine irrasyonel bir sayıyı çarparsanız, sonuç yine irrasyonel bir sayı olur. Yani düşündüğünüzden, tahmininizden çok daha fazla irrasyonel sayı var. Hoşcakalın.