Mutlak minimum ve maksimum konusunun bir daha gözden geçirilmesi

Bir mutlak maksimum nokta, fonksiyonun en büyük olası değerine ulaştığı noktadır. Benzer şekilde, bir mutlak minimum nokta, fonksiyonun en küçük olası değerine ulaştığı noktadır.

Yerel minimumlar ve maksimumları bulmayı zaten bildiğinizi varsayarsak, uç noktaları bulmak için bir adım daha gerekir: her iki yöndeki bitim noktalarını dikkate almak.

Uç değer teoremi, bize sürekli bir fonksiyonun kapalı bir aralıkta mutlak minimum ve maksimum değerleri olması gerektiğini söyler. Bu uç değerler, ya aralıktaki bir yerel uç noktasında ya da aralığın bitim noktalarında elde edilir.

Örneğin, $h(x)=2x^3+3x^2-12x$h, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 2, x, cubed, plus, 3, x, squared, minus, 12, x'in $-3\leq x\leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 aralığında mutlak uç noktalarını bulalım.

$h'(x)=6(x+2)(x-1)$h, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 6, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis olduğundan, kritik noktalarımız $x=-2$x, equals, minus, 2 ve $x=1$x, equals, 1'dir. Bu noktalar, $-3\leq x\leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 kapalı aralığını üç parçaya ayırır:

Şimdi kritik noktalara ve aralığın bitim değerlerine bakın:

$-3 \leq x \leq 3$minus, 3, is less than or equal to, x, is less than or equal to, 3 kapalı aralığında, $(-3,9)$left parenthesis, minus, 3, comma, 9, right parenthesis ve $(1,-7)$left parenthesis, 1, comma, minus, 7, right parenthesis noktaları yerek minimumlardır ve $(-2,20)$left parenthesis, minus, 2, comma, 20, right parenthesis ve $(3,45)$left parenthesis, 3, comma, 45, right parenthesis noktaları yerel maksimumlardır.

Mutlak minimum değerin aralığın içinde elde edildiğine ve mutlak maksimum değerin bitim noktalarından birisinde elde edildiğine dikkat edin.

Fonksiyonların hepsinin tüm tanım kümelerinde bir mutlak maksimum veya minimum değeri olmaz. Örneğin, $f(x)=x$f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x doğrusal fonksiyonunun bir mutlak maksimumu veya minimumu yoktur (istediğimiz kadar düşük veya yüksek olabilir).

Bununla birlikte, bazı fonksiyonların tüm tanım kümelerinde bir mutlak uç noktası vardır. Örneğin, $g(x)=xe^{3x}$g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, x, e, start superscript, 3, x, end superscript fonksiyonunu analiz edelim.

$g'(x)=e^{3x}(1+3x)$g, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, e, start superscript, 3, x, end superscript, left parenthesis, 1, plus, 3, x, right parenthesis olduğundan, tek kritik noktamız $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction'tür.

Kendimizi $g$g grafiğinin üstünde yürürken, en soldan ($-\infty$minus, infinity'tan) başlayıp en sağa ($+\infty$plus, infinity'a kadar) giderken hayal edelim.

$x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction'e ulaşana kadar aşağı giderek başlayacağız. Sonra, sonsuza kadar yukarı gideceğiz. Buna göre, $g$g'nin $x=-\dfrac{1}{3}$x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 3, end fraction'te bir mutlak minimum noktası vardır. Fonksiyonun mutlak maksimum değeri yoktur.