Eğer bu mesajı görüyorsanız, web sitemizde dış kaynakları yükleme sorunu yaşıyoruz demektir.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Ana içerik

Optimizasyon Problemi: y = x²’nin Uç Değer Normali

Zor ama ilginç bir türev sözlü problemi. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Video açıklaması

mi Evet bana uzun bir soru gönderdiler soru Normal ders kitaplarında karşımıza çıkan lara göre zor bir soru olduğundan nasıl çözüleceğini öğrenmenin işimize yarayacağını düşünüyor soruyu ilk okuduğunuzda Gözünüz korkabilir ama ne demek istediklerini anladıktan sonra oldukça ilginç bir soru olduğunu göreceksiniz Hadi şimdi sabırla bu uzun soruyu okuyalım Yukarıdaki şekilde gördüğünüz eğriye eşittir x kare TEV bu ehliye eşittir csgoroll iş birinci çeyrekte parabolle kesişimi parabole dik olan bir normal tanımlayalım birinci çeyrek buradadır ve birinci çeyrekte parabolle kesişimi parabolle Normal yani dik olacakmış buraya Eğer bir teyet çizecek olursunuz bu doğrunun tyt dik olduğunu biliyoruz bunun da no ne olduğunu modelim Anlaşıldı şekilde beş tane normal görüyorsunuz 1 2 3 4 ve 5 tane bunların hepsinin birinci çeyrekteki kesişimleri parabole Normal yani dik görür ama normalin parabolle ikinci çeyrekteki kesişimini nexco ordinatı birinci çeyrekteki kesişiminin x koordinatı küçüldükçe bir süre küçülür birinci çeyrekteki kesişimin x koordinatı küçüldüğünde Bir bakalım eğer buradan başlarsam x koordinatı burada ilk X eksenine doğru inelim Evet işte burada bundan daha küçük bir x ordinatına geldiğimizde normale ne oluyor Hatta daha da önemlisi ikinci çeyrekteki normali bu işimi ne ne oluyor ve ikinci çeyrek Burası x değeri büyükken normal ikinci çeyrekte burada kes işiyordu ilk değerimizi küçüklüğümüzde buradaki kesişiminin x koordinat ıh Aslında soruyu kötü ifade etmişler ikinci çeyrekteki kesişimi küçülür diyorlar ama aslında küçülmüyor negatif li azalıyor Evet küçülür dediğimizde mutlak değer ya da büyüklükten bahsediyoruz ve burada negatifliği azalıyor demek daha doğru olurmuş gördüğünüz gibi buraya doğru ilerliyor ama değeri daha büyük negatif li azalıyor ama mutlak değer olarak düşünürsek küçülür demek Evet o zaman Doğru olabilir bu noktada bu noktaya geldiğimizde Yani birinci çeyrekteki kesişim içeri ilerlediğinde ikinci çeyrekteki kesişimde içeriye doğru ilerliyor versin bu olarak normalin ikinci çeyrekteki kesişimi küçüle bildiği kadar küçülür birinci çeyrekte iç değerini küçültmeye devam ettiğimizde bu şekilde içeriye doğru ilerleyip bu noktaya geldiğimizde ikinci çeyrekteki kesişim işte buradadır Evet birinci çevredeki x değeri küçülmeye devam ettikçe ikinci çeyrekte giderek daha negatif sayılarla kesişme ye başlıyor başka bir değişle bunun normalin ikinci çeyrekteki en büyük değer ya da en küçük mutlak değerli kesişim noktası olduğunu söyleyebiliriz Anlatabildim mi bilmiyor burada Yani birinci çeyrekteki kesişim noktasının x koordinatı büyük İkinci çeyrekteki kesişimde büyük ve negatif 1x değer elde ediyor ilk değeri küçülmeye başladığında burada daha az negatif bir Değerdir an ve bu noktaya gelene kadar bunun en küçük negatif değer olduğunu düşünebiliriz ve bundan daha küçükse değerlerinde ikinci çeyrekteki normaller yine dışarıya doğru yönelmeye başlıyor Evet sanırım bunu anlatmaya çalışıyorlar Belki o uç değer normali şekilde kalın doğru ile gösterilmiştir Tamam Evet burada koyu ve kalın bir şekilde gösterdikleri normal uç değer normali Tamam Bu noktadan sonra x değerlerini içeri çekmeye devam ettiğimizde ikinci çeyrekteki kesişimler dışarıya doğru hareket ediyorlar ve uç durumda Eğer buradaki normali çizecek olur isek ikinci çeyrekteki kesişim her ne kadar asin top yapıyormuş gibi görünse de buralarda bir yerlere denk gelir normaller uç değer normalini geçtiklerinde parabolle ikinci çeyrekteki kesin bu x koordinatı büyümeye başlıyor Bu arada büyümeye başlıyor derken negatiflikleri artıyor demek istediklerinde altını çizmek istiyorum dediğim gibi soruyu pek de iyi ifade edememiştir Neyse Evet bunun yerine negatifliği artar yada daha büyük negatif değerler alırlar desem daha yok olacak Bunun altına geçtiğimizde ise ikinci çeyrekteki kesişimleri dışarıya doğru ilerler belki devam edelim şekilde iki çift normal verilmiştir o da tam bu çiftin iki normalinin parabolle ikinci çeyrekteki kesişimleri aynıdır ama biri uç değer normalinin üzerindeyken birinci çeyrekte diğeri altındadır ve mesela burasını helal Pick diğer büyük olduğunda ikinci çeyrekteki kesişim burada wax değerini küçültmeye başladığınızda uç değer ben seni de geçtikten sonra bu noktaya geliriz ve bu noktada ya da bu noktaya geliriz ilk değerini yeteri kadar içeriye çekersek ikinci çeyrekte yine aynı kesişim noktasına gelir soruyu hem kendim anlamaya çalışıyorum hem de size anlatmaya çalışıyorum onun için Umarım Kafanız çok karışmıyor de cep bizden ne istiyorlar Sanırım bu videoda sadece ilk soruyu yapabileceğim ikincisinde başka bir videoya saklarız uç değer normalin denklemini bulunuz ilk bakışta göz korkutucu öyle değil ama türev ve doğru denklemi hakkında Bildiklerimi düşünürsek bu soruyu kolaylıkla Çözebileceğimiz düşünün bu eğrinin herhangi bir noktasındaki teğetin eğimi n eşittir ye eşittir x karenin türevini alırsak ye üssü eşittir 2x olur ve bu bize herhangi birisi diğerinden geçen teğetin eğimi verir bu Eğer belirli bir ilk noktasındaki teğet deneyimini bulmak istersem bu noktaya mesela 20 değilim Evet x-02 ek Sıfıra eşit olur evet bu ilk sıfır noktasından geçen teğetin eğimi nedir normal ineğimin de buna dik olması lazım Öyle değildik doğrunun ispatı burada yapmayacağım ama eğimi bunun çarpmaya göre tersinin eksilisi dir başka bir değişle 2-0 dan geçen normal ineğimi teğetin eğimi 220 olduğu için eksi 1 bölü 2 20 olacak eşittir eksi 1 bölü 2 -0 bunun sorudaki 20 noktası olduğunu düşünelim bu noktadaki normalin denklemi nedir buradaki normalinden demini bulmak için eğim nokta formunu not edelim Bu nokta normalin üzerinde olacak öyle değil mi aq01 Evet ilk sıfır kare Neden Çünkü bu evriye eşittir ikskare eğrisi bunol daha bu Normalde olacak Hemen not ediyorum normalin denklemi az önce söylediğim gibi nokta eğim formunu kullanacağım ye eksi buranın y koordinatı Yani ilk sıfırın karesi ve eşittir Normal ineğimi yani eksi 1 bölü 2 20 çarpık x eksi bulunduğumuz isks koordinatı yani ix20 Evet işte size normalin denklemi Bir bakalım İlk sıfırın sıfırdan büyük olması lazım Öyle değil mi Evet birinci çeyrekte Yani bu değerler söz konusu olduğunda elde ettiğimiz normal leri hesaba katacağız normalin denklemi buydu bunu x için çözecek olur isek yeksin bir fonksiyonu İki tarafa da 20 kare et diyelim y e Bu bir şu Parantezi de açalım eksi 1 bölü 2 x0 çarpı x eksi eksi artı eder 1/2 bu iki sıfırla bu 20 birbirini götürecek sonra bir de 20 ekleyeceğiz bu buna eşit sonra bir de artık Sıfır kare Bu da emax artı be formundaki denklem bu eğim yani me Bu da veya niye ekseni Kesim noktası Şimdi de bunun parabolü nerede kestiğini bulmamız lazım parabolün denklemi ye eşittir x kareydi nerede kes içtiklerini bulmak için bu iki iyi birbirine eşitleme miz yeterli Evet kesiştikleri noktada bu ye değeriyle bunun birbirine eşit olması lazım Öyle değil İsterseniz bu ye yerine bunu da bu sonuç olarak aynı şeyi yapmış oluruz hemen yazıyor ilk stare eşittir eksi 1 bölü 2 x0 çarpık x artı bir bölü iki artık sıfırın karesi Şimdi de ikinci dereceden denkleme bulabilmek için bunu çözmemiz lazım önce bunları sol tarafa taşıyalım ilk süper ve artı bir bölü iki 20 çarpı x eksi Bunların hepsi 1/2 artık sıfırın karesi eşittir sıfır Tüm bunları sol tarafa taşımaktan başka bir şey yapmadığımı hemen bir daha ekledik Bu ikinci dereceden bir denklemin ve Bunu sağlayan x değerleri bize parabolle normalin kesiştikleri noktaları verecek ikinci dereceden denklem formülünü uygula da tam çözüm olabilecek x değerlerinden biri eksi B yani eksi 1 bölü 2 20 artı eksi karekök içinde bekar Yani bunun karesi 1/4 x sıfırın karesi -4 Ace yani -4 çarpı eksi bir çarpı bu eksi çarpı eksiden artı elde edeceğiz yazıyorum artı dört çarpı parantezden de iki artı 4x sıfırın karesini elde ederiz Burası -4 ağacı Anlaştık mı eksiyle eksilen artı elde ettik Bu bir dört çarpı cd2 artı 4 x0 kare eder buna ikiyle çarptık Bir de paydası var tabii ki Aaa bir olduğuna göre yok ya sadece iki yazıyor Bakalım bunu sadeleştirme bilecek miyiz Şu ana kadar yaptıklarımızın Normalde parabolün nerede kestiklerini bulmak için olduğunu hatırlıyorsunuz değil mi Mehmet bunu sadeleştirilir sake bir bakalım bayağı karmaşık gibi duruyor ama sanırım bir şeyler yapabiliriz bir daha yazalım her şeyi 2'ye bölersek Burası eksi 1 bölü 4 x0 olur artı eksi 1 bölü iki çarpı karekök içinde bakalım buna bir şeyler yapabilir miyiz bunu dörtbölük sıfırın karesi parantezine alırsam buradaki terim-ilk sıfır üzeri 4 olur artık Burası da 1/2 XY sıfırın karesi olur evet Bununla 4'ü çarpınca iki elde ederiz ec0 karelerde bir birini götürür ve bir de artı bir bölü bu 16 isterseniz sağlamasını da yapabilirsiniz Ama bu Parantezi açınca bunu elde etmemiz gerekiyor artık sona çok yaklaştık Çünkü buradaki ifadenin çarpanlarını bulmak oldukça kolay olacak parabol ve normalin kesişim noktaları eksi 1 bölü 4 x0 artı eksi 1 bölü iki çarpı karekök için B4 Bölük sıfırın karesi Peki ya bunun çarpanları aslına bakarsanız çok da şanslıyız Çünkü karşımızdaki ifade bir tam kare şimdi çok fazla detaya girmek istemiyorum Çünkü bu videoyu çok fazla uzatır mama Sanırım bir çoğunuz Bunun ilk sıfırın karesi artı bir bölü 4 olduğunu fark etmişsinizdir eğer bana inanmıyorsanız bunun karısını alabilirsiniz Sonuç olarak bunu elde ettiğimizi göreceksiniz tam ne olduğu için karekökünü da alabileceğiz bu da güzel parabolle normalin nerede kesiştikleri ni bulmamıza çok az kaldı Bu gerçekten de zor ve uzun bir soruymuş Ama dediğim gibi az kaldı eşittir eksi 1 bölü 4 x0 artı eksi 1 bölü iki çarpı bunun karekökü 2 bölük sıfır Çarpı x sıfırın karesi artı bir bölü 4 temize çekelim eksi 1 bölü 4 x0 şimdi buradaki 1/2 ile iki birbirini götürecek artı eksi 1 bölü x 0ah çok özür dilerim biraz daha dikkatli olmam lazım bununla bunu çarparsak ilk 0 elde ederiz 1/0 bir söylediğim Evet bunu çarpınca 20 artı bir bölü 4 x-01 parantezlerin de un o parabolle normalin kesiştikleri iki noktayı bulduk Biraz daha açık olmam gerekirse bahsi geçen ilk sıfır Burası bulduğumuz noktalar bu vb arada artı eksi olduğunu hatırlıyorsunuz değil mi bu artılı bu da eksili Halit ve hatta artılı versiyonun ilk Sıfıra eşit olması da gerekiyor hemen kontrol edelim Evet bu birinci çeyrekteki kesişim noktasıdır ilk eşittir eksi 1 bölü 4 x0 artık sıfır artı bir bölü 4 x0 ve gördüğünüz gibi ilk Sıfıra eşit kesişim noktalarından birinin ilk sıfır olması da çok mantıklı Ne de olsa soruyu bu şekilde tanımladık Öyle değil mi Evet bu birinci çeyrekteki kesişim noktası ikinci çeyrekteki kesişim noktası içinde eksili versiyonu değer 300 gerekecek ikinci çeyrekteki kesişim noktası olduğunu belirtmek için eksinin altına iki yazıyor eşittir eksi 1 bölü 4 x0 eksik sıfır eksi 1 bölü 4 x0 ve bu da burada bir eksi 1 bölü 4 sıfır var burada bir tane daha o halde eksik sıfır eksi 1 bölü 2 x sıfırla eş eksi 1 bölü 4 eksi 1 bölü 4 toplarsam -1 rikel denirdi ikinci çeyrekteki kesişim noktasında bu Naşit Umarım Yer sıkıntısı çekmem Normalde parabolün ikinci çeyrekteki kesişim noktası eksik sıfır eksi 1 bölü 2 -0 harika sonuçlar elde ettik ama bunlar ne yazık ki hala sorunun cevabı çünkü bizden kesişim noktalarının en büyüğünü bulmamızı is ne var Ve bunu da uç değer normal olarak adlandırıyoruz oruç değer normaline ikinci çeyrekteki kesişim noktasının Maximum değerinde elde ediyoruz soruda bundan en küçük değer olarak bahsediyorlar Ama bu aslında en küçük negatif değer olduğu için Aslında bir Maximum noktası belki maksimum değeri nasıl bulabiliriz ikinci çeyrekteki kesişim noktasını birinci çeyrekteki x değeri türünden bulduk öyle değil isterseniz şu şekilde de yazabilirim ikinci çeyrekteki kesişim noktası 20 eşittir eksik sıfır eksi 1 bölü 2 Sıfıra eşit ve bunun maksimum değeri alması için de türevinin Sıfıra eşit olması gerekir Daha doğrusu Maximum değerini türevini sıfır yapan ilk sıfır değerinde alır diyelim Tüm bu gösterimlerle iyice çorba gibi bir ifade oluştu ama şimdi bunun ilk 0 bu görevini aldığımızda her şeyin daha açık olacağını göreceksiniz ikinci çeyrekteki kesişim noktasının ilk sıfıra göre türevi -1 eksi 1 bölü iki çarpı bu 20 üzeri eksi biri eşit O halde çarpı eksi bir çarpı 20 üzeri eksi 2 Bunun yerine 20 üzere -1 yazabilirim Öyle değil mi ve burada da kuvveti 20 önüne alıp kuvveti Bir eksiltmek de başka bir şey yapmadım Aslında birinci çeyrekteki kesişim noktasına göre tür Evet sadeleştir elim şöyle yazayım ikinci çeyrekteki kesişim noktasının birinci çeyrekteki kesişim noktasında göre türevi -1 eksi 1 bölü iki çarpı eksi bir artı bir bölü iki eder 1/2 20 üzeri iki Maximum değerinde da Sıfıra eşit olduğunda alacak demiştik Öyle değil mi eşittir sıfır yazıyorum ve hemen bunu da çok güzel İki tarafa bir ekleyelim Mehir bölümü 220 üzeri 2 eşittir bir o***** iki tarafın çarpmaya göre tersi ne alınca iki çarpık sıfırın karesi eşittir bir orospulara dank sıfırın karesi de 1/2 ye iki tarafın karekökünü alınca da ilk sıfırı bir bölü karekök içinde ikiye eşit olarak buluruz bu sefer Evet bu sefer sona çok yaklaştık bize uç değer normal mi verecek sıfır değerinde bulduğunuza göre kendi İşte buradaki değerden bahsediyorum daha koyu bir renkle gösterirsem daha iyi olacak Buradaki 20 değeri olan bir bölü karekök için iki bize uç değer normalini bu x0 değer ve şimdi de bu uç değer normalinin denklemini bulmamız lazım uç değer normalin denklemini burada bulmuştuk işte orada bu Herhangi bir normalinden Clas miydi ve maksimum noktadan geçen uç değer normalden denklemini bulmak için de ilk sıfır yerine bir bölü kare kökü çıktı iki yazmam yeterli Hadi bakalım bu çok uzun ve zor sorunun Nihayet sonuna yaklaştık ye eksik sıfırın karesi 20 yerine bir bölü karekök içinde iki yazacaktık ilk sıfırın karesi bir bölü karekök içinde 2'nin karesinden 1/2 ye eşittir O halde ye eksi 1 bölü 2 yazıyor eşittir eksi 1 bölü 2 x-01 bakalım eksi 1 bölü iki çarpı 1/0 1/0 karekök içinde ikiye eşittir bu çarpık xx0 Yani bir bölü karekök içinde iç bunu biraz daha sadeleştirilebilir mi Zehra yapmadıysan ki umarım yapmışımdır uç değer normalin denklemi ye eksi 1 bölü 2 eşittir bununla bunu çarpınca eksi karekök için 2 bölüm 2 elde ederiz Parantezi de açalım Çarpı x sonra bulunmada bunu çarpınca bununla bu birbirini götürecek eksi eksi dende artı elde edeceğiz artı bir bölü iki doğru oldu değil Evet bu çarpıp uçak bu 1/2 eşittir 2 tarafa 1/2 ekleyelim ve uç değer normalin denklemi niye eşittir eksi karekök içinde 2/2 2x artı bir olarak olalım o kadar az önce dediğim gibi eğer hata yapmadıysa mutch değer Normalde denklemi buna eşit Hata yaptıysam bile artık sorun nasıl çözülmesi gerektiğini bildiğinize Göre Hata mı Siz düzeltirsiniz