If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Optimizasyon: Kutu Hacmi (1. Bölüm)

Düz bir karton parçasından bir kutu yapıyorsanız, bu kutunun hacmini nasıl maksimize edersiniz? Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Video açıklaması

bu elimizde boyutları 20 santimetreye 30 santimetre olan bir karton parçası mı Evet kartonu çizmeye çalışıyorum Buna benzeyen bir parça boyutlarını da not edelim Burası 20 ve Burasıda 30 santimetredir şimdi bu karton parçasının köşelerinden ilk santimetreye ilk santimetre kareler keseceğiz Evet Kenar uzunluğu ilk santimetre olan kare şeklinde parçalar ilk x x x x bu kareleri kestikten sonra bu kısımlar kanat gibi görünecek ler ve bu kanatları da bu şekilde katlaya cağız bu şekilde burayı bu şekilde derken böylece bir kutu elde etmiş olacağız bunu üstü açık bir kutu olarak düşünebilirsiniz demek istediğim kanatları yukarıya doğru çok sıcak olursak buna benzeyen bir kutu elde ederiz öyle değil size elimden geldiğince iyi bir çizim yapmaya çalışacağım Evet bunun kapladığımız kanatlardan biri olduğunu düşünün Mesela bu olabilir bu kanadı yukarıya doğru katlarsak buna benzeyen bir görüntüyle karşılaşırız işte böyle kanadın yüksekliği x olacak şimdi eğer bu kanadı da katlarsak biraz daha düzgün çizim Evet bu şekilde o da o da bu şekilde görünür dediğim gibi elimden geldiğince düzgün bir çizim yapmaya çalışıyorum Evet böyle sonra bir de bunu katlıyor o da o da böyle görünür Evet buradaki de buradaki de 4 ve bu kısımda yani katlanamadığım kısımda elde ede bu kutunun taban olur tamam Şimdi bir de bu kutunun hacmini maksimize etmek istediğimizi düşünelim ve bunu da seçeceğimiz x değeri ile yapacağız demek istediğim bu kutunun hacmini ixion bir fonksiyonu olarak düşünmemiz gerekecek bunu yapabilmek için kutunun tüm boyutlarını ilk türünden ifade etmemiz gerekir Mesela bu kenarının uzunluğunun x olduğundan Az önce bahsetmiştik Evet bu kanadı ve bu kanadı yukarıya doğru katlayıp birleştirdiğimizde ortaya çıkan kenarının uzunluğu exe ve aynı durum Burası ve Burası için de geçerli olacak peki ya genişlik Sizce bu kutunun genişliğine olur hemen gösteriyim İşte buradaki uzunluktan bahsediyorum bu uzunluğu 20 santimetre -2 x olduğunu söyleyebiliriz Öyle değil mi Not edelim ve eksi 2x bakın Burası Eğer 20 santimetre ise bu iksi ve bu iksi çıkarınca geriye 20 -2 x kalır peki sizce kutunun derinliğini de aynı mantıklı hesaplayabilir miyiz gelinlik derken de buradaki uzunluktan bahsediyor bu uzunluk 30 santimetre olduğuna göre bu iksi ve bu iksi çıkarınca 30 -2 x elde ederiz ve böylelikle de kutunun tüm boyutlarını iks türünden ifade etmiş oluyoruz Şimdi sıra geldi hacime ilk türünden hacim yükseklik yani x çarpı genişlik yani 20 -2 x çarpı derinlik yani 30 -2 x eşit olur elde edeceğimiz hacmin geçerli bir hacim olması için x hangi değerleri almalı exe bi kere bu adam küçük olamaz yani keseceğiz bu parçanın negatifti uzunluğu olması mümkün değil Öyle değil mi bunun için için sıfırdan büyük olması gerektiğini söyleyebiliriz sıfırdan büyük ya da Sıfıra eşit olarak not edelim belki x için bir üst sınır var mıdır burada pembeyle işaretlediğim uzunluk 20 eksiği x eşittir ve bu uzunluğunda sıfırdan büyük olması gerekir 20 -2 ilk sıfırdan büyük ya da Sıfıra eşit olmalı Öyle değil mi Ne de olsa elimizdeki kartonun uzunluğundan daha fazla uzunluğa sahip bir kenar Köse miyiz Buna göre irmi 2 itten büyük ya da eşit olması gerekir diyebiliriz Bu sayede de onun x en büyük ya da eşit olması gerektiğini elde ederiz ve bu ilksin ondan küçük ya da ona eşit olması ile aynı anlama gelir O halde name bu x sıfırla on arasında bir değer almalı imiş Aksi takdirde elimizde kinden uzun bir parça kesmiş ya da karton parçasına ek yapmış gibi oluruz isterseniz Öncelikle için değer aralığındaki uç değerlerin hacmi hangi noktaya getireceğine bakalım Melek sıfır olduğunda hacmin ne olduğunu hesaplayarak başlayalım aslına bakarsanız bu son derece net bir durum Çünkü burada herhangi bir yükseklik olmayacak yükseklik olmayınca da hacim olmaz Öyle değil mi Tamam peki ex10 olursa ex10 olunca da burada pembe ile işaretlediğim genişlik sıfır olacağından hacimde yine sıfır olur matematiksel düşündüğümüzde de buradaki Terim sıfır olacağı için hacmin sıfır olacağını söylememiz mümkün O halde hacim Maximum değerini ilksin sıfırla on arasındaki bir değerinde alır biz biliriz Analitik ve türev içeren çözüme geçmeden soruyu grafik üzerinde çözelim değil mi hesap makine mi çıkarayım Evet grafiği çizmeden Aralığın doğru olduğundan emin olmamız lazım grafik fonksiyonunu seçip aralığa gelelim ilksin minimum değerini sıfır olarak seçiyorum ilk sen sıfırdan küçük olamayacağını biliyoruz maksimum değeri içinde onu giriyorum Evet minimum y değeri bu aslında hacmin alacağı değer ve sıfırdan küçük yani negatif bir hacim olamayacağı için bunu da sıfır olarak seçelim Maximum y değeri içinde mantıklı bir değer belirleyelim rastgele bir x değeri için hacmine olacağını hesaplama mız gerekirse ki mesela beşi seçelim ilk Sen eğer 5 olursa 5 çarpı 20 -10 yani 10 doğruldum U20 eksi onu Evet onu eder ve bu Yapı 30 eksi ondan Evet Buradan da 25 çarpı on çarpı 20000 eder ilk seçin rastgele bir değer seçtiğimizde ki biz beşi seçtik hacmin bin santimetreküp olacağını bulduk bunun maksimum hacim olmaması ihtimaline karşılık yeğenin maksimum değeri için binden daha büyük bir değer seçelim mesela 1500 olsun herhangi bir sebepten dolayı grafik Eğer bu aralığa sığmazsa da yönünü Maximum değil mi değiştiririz Anlaştık mı Şimdi de fonksiyonu girelim hacim x çarpı 20 -2 x çarpı 30 -2 x eşittir Evet doğru oldu ve artık grafiği çizebiliriz şu Tuşa basıp grafiği çiz diyelim ve İşte bu var gördüğünüz gibi seçtiğimiz are alıp doğru bir Aralık olmuş Google Pixel sıfırla on arasındaki değerleri için hacminin x türünden değeri buralarda bir yerlerde maksimum oluyor Evet böyle görünüyor Şimdi that Reis fonksiyonunu kullanarak bu maksimum değeri ne olduğunu bulmaya çalışalım biraz daha biraz daha Evet işte bu noktada hacim 1055 1,5 değerini almış sonra 1056 sonra 1050 6,20 1050 6,24 ve Sonra da 1055r geri dönüyor hesap makinesinin yardımıyla elde ettiğimiz bu değer hacmin maksimum değeri için oldukça iyi bir tahmin gibi görünüyor hacmin maksimum değeri olan 1050 6'yı ilksin 3,89 değerinde elde ediyoruz şöyle not edelim 3,89 ve hacim yaklaşık olarak 1000 el 6'ya eşit isterseniz X'in yaklaşma 3,89 değeri için hacmin Maximum değerini elde ediyoruz da diyebilirsiniz şu ana kadar bu maksimizasyon problemini kurduk ve çözüme grafiksel olarak yaklaştık bundan sonraki videoda da Adaleti ve türev içeren çözümü göreceğiz