Zincir Kuralının İspatı

Bu videoda, bazen kolay bazen zor olabillen, kimi zaman çok işe yarayan, kimi zamanda kök söktüren, ismi de biraz korkutucu olan zincir kuralını, kanıtlayacağız. Türevlerde süreklilik ile ilgili videoları izlediyseniz, hani x’in bağımsız değişken olduğu bir fonksiyonda, x’deki değişim sıfıra yaklaşırken, fonksiyondaki değişim de sıfıra yaklaşır dediğimiz videoları seyrettiyseniz, bu ispat size oldukça açık gelecek, oldukça net gelecek. O halde, başlayalım. Bu arada, bu zincir kuralının birkaç ispatından bir tanesi. Şimdi, u, x’in, y de, u’nun fonksiyonu. Bunun türevini almak istediğimizde, x’e göre türevinden bahsediyorum, yani dy bölü dx, bu, y’nin u’ya göre türevi çarpı u’nun x’e göre türevine eşit olur. Evet, zincir kuralı bundan ibaret. Peki, bunu nasıl kanıtlayacağız? Önce, y’nin, x’e göre türevinin, delta x sıfıra giderken, limit y’deki değişim bölü x’deki değişim olduğunu hatırlayalım. Şimdi de, bunun üzerinde biraz oynayarak, bazı matematiksel sihirbazlıklarla, u’daki değişimi bu ifadeye ekleyeceğiz. Bu, buna eşit olur. Delta x, sıfıra yaklaşırken, burayı u’daki değişimle çarpıp böleceğim. Delta y bölü delta u, çarpı delta u bölü delta x. Bir düşünelim, tüm bunlar sayı olacağından, u’daki değişimler birbirini götürecek ve geriye, y’deki değişim bölü x’deki değişim kalacak. Aynen buradaki gibi. Evet, buraya kadar çok ilginç bir şey yok ama bunun neye eşit olduğunu bulduğumuzda şaşırabilirsiniz. Bir çarpımın limiti, çarpanların ayrı ayrı limitlerine eşittir, öyle değil mi? O halde, yazalım. Delta x sıfıra yaklaşırken, limit y’deki değişim bölü u’daki değişim, çarpı, etrafına parantez koyalım, delta x sıfıra yaklaşırken, limit u’daki değişim bölü x’deki değişim. Yine parantezimizi koyalım. Evet, şimdi, bunu sadeleştirebilir miyiz, bir bakalım. Ama daha önce, bunun doğru olması için bir varsayımda bulunmamız gerekiyor. Evet, bunun doğru olması için, u’nun da y’nin de, x’de türevlenebilir olması gerekir. y ve u, x’de türevlenebilir ve x’de türevlenebilirlerse, aynı zamanda x’de süreklidirler. Evet, bunun doğru olması için, u’nun ve y’nin x’de türevlenebilir olması gerekir. y ve u, x'de türevlenebilir. x’de türevlenebilirlerse, tekerleme gibi oldu, aynı zamanda x’de süreklidirler. u, x’de türevlenebilirse, bu limit tanımlıdır ve du bölü dx’e eşittir. Bunun yerine, du bölü dx yazalım. Sıra buna geldi. Burada yazıldığı şekilde, bunun dy bölü du olduğunu söyleyemeyiz. Çünkü delta x sıfıra yaklaşırken limit alıyoruz, delta u değil! Daha önceki videomuzda, hatırlarsanız, x’de sürekli olan bir u fonksiyonu için, delta x sıfıra yaklaşırken, delta u da sıfıra yaklaşır demiştik. O halde, bunun yerine, Yani delta x sıfıra yaklaşır yerine, delta u sıfıra yaklaşır yazabiliriz. Neden mi? u, x’de türevlenebilir olduğu için, delta x sıfıra yaklaşırken, delta u da sıfıra yaklaşır. Yani x’deki değişim azaldıkça, u’daki değişim de azalır. O zamani, bunun yerine, delta u sıfıra yaklaşırken yazıyorum. Peki, şimdi ne görüyorsunuz? Bu, dy bölü du oldu. y’nin u’ya göre türevi. y ve u’nun, x’de türevlenebilir olduğunu varsayarak, x’in fonksiyonu olan u’nun ve u’nun fonksiyonu olan y’nin türevinin, buna eşit olduğunu kanıtladık. Tekrar ediyorum süreklilik ve türevlenebilirlik konularında bazı varsayımlarda bulunarak ve bazı bazı işlemlerle, hatta ufak tefek sihirbazlıklarla, y’nin x’e göre türevinin, y’nin u’ya göre türevi çarpı, u’nun x’e göre türevi olduğunu kanıtladık. Umarım ikna oldunuz.