Bileşke Üstel Fonksiyonların Türevi

elimizde klasik bir kapalı türev sorusu var sorumuz şöyle ye eşittir x üzeri Exo olmak üzere yeğenini x göre türevini bu eşitliğe bakıp genelde şöyle denir kuvvet olarak sabit bir sayı kullanılmadığı için kuvvet kurallarını kullanma Peki nasıl çözdük En bu sorunu çözmenin püf noktası eşitliğin her iki yanında doğal logaritma sını almaktır videonun ilerleyen dakikalarında işin nereye varacağını göreceksiniz eşitliğin her iki yanında doğal logaritma sını alırsak elimizde şöyle bir ifade olur Elen ye eşittir Elen x üzeri exe kuvvet kuralları veya doğal logaritma kuralları bize şunu söyler bir şey üzeri bir şey biçimindeki Bir ifadenin doğal logaritmasını alıyor isek boşuna eşittir Elen x üzeri x ifadesi Evet şuna eşittir ilk çarpıp Bu selenit şimdi ulaştığımız son hali yazayım bize verilen eşitliğin her iki yanında doğal logaritma sını alırsa elimize şu geçerek eğlen ye eşittir x çarpı elenir x artık eşitliğin her iki yanında ilkse göre türevini alabiliriz bunun x göre türevi ve bunun Excel göre türev Şimdi de zincir kuralını uygulayacağız zincir kuralına göre bunun x göre türevi nedir parantez içindeki ifadenin yüksek göre türevi nedir bu bir kapalı türev Aslında bu nedenle daybed bölü değil x çarpı tüm ifadenin parantez içindeki fonksiyona göre türevi elini X'in türevi bir bölü iksir Bu nedenle eğlen yeni niye göre türevi bir bölü ye olur söylediğimi çağırdı bir bölü ye eve eşittir Bu ifadenin türevi bildiğimiz bu kuralı başka bir renkle yazdığım sayı birinci Terim in türevi Yani bir çarpıcı ikinci Terim yani eğlen eksiğim Evet artı ikinci Terim in türevi yani 1/2 x çarpı birinci Terim yani iks şimdi elimizde ne var diye bölü dikse çarpı bir bölü ye eşittir elenen x artı Burası da 1E eşittir Xperia X1 Öyle değil mi eşitliğin her iki yanını da y ile çarpalım ne olur diye bölü değil x eşittir ye çarpıp elenen x artı bir burada ye olmasını istemiyorsanız değişim yapabilirsiniz yeic üzeri x eşitti yeğenini x göre türevi yani de ye bölü değil x eşittir eksi üzeri x çarpı elenen x artı bir Aslında eğlenceli bir soru her iki yanında doğal logaritma bu alınabileceğini nakla gelmeyeceği düşünülerek kötü fili soru veya ödüllü soru olarak sık sık sorulan sorulardan biridir elimde bundan da zor bir soru var Ve birazdan onu da çözeceğiz Ama önce bu soruyu çözmemizi oldu çünkü temel kavramları görmemizi sağladı çözeceğim İz daha zor soru gelsin Şimdi hemen yazıyorum sorumuz söyleye eşittir 2 üzeri belalı kısım geliyor 2x üzeri it ve biz de ye bölü değil eksi yani yeni x göre türevini bulmak istiyoruz bu soruyu da çözebilmek için aynı yollara başvuracağız bu üstten ifadeyi parçalara ayırmak için doğal logaritma kullanacağız ve sonuçta işlem yapması kolay terimler elde edeceğiz ardından da çarpım kuralını uygulayacağız Bir önceki soruda yaptığımız gibi eşitliğin her iki yanında doğal logaritma sını alalım Melen ye eşittir Eleni x üzeri bu seks üzeri exe.exe üzeri ifadesi ixion kuvveti O halde bu eşitliğin bu yanını şöyle yazabiliriz ilk su üzeri exe çarpı ele Nex şimdi eşitliği miz biraz sadece sharrac şu hale gelen ye eşittir eksi üzeri x çarpı ele Nexus yine de bu can sıkıcı ilk üzeri ifadesi hala duruyor bunun türevini almanın kolay bir yolunu bilmiyoruz gerçek türevinin ne olduğunu az önceki soruda bulmuştuk o ifadeyi buraya yazabiliriz tekrar eşitliğini ki yanında doğal logaritma sana alacaktım ama o durumda Karman çorman bir hala alacaktı soru Neyse ki bu videonun başında ilk üzeri X'in türevi nin ne olduğunu bulmuştuk işte burada yazan ifade burada yazan acayip ifade bunu ezberleyip buraya yazdıktan sonra yeni soruyu çözebilir sadece çözmeye başlayalım Bu bölümü daha önceden çözme seydik beklenmedik bir biçim bu sorumuzu çözmemiz de bize yararı dokunacak güzel bu bölümü daha önceden çözme seydik yeni soru da bir kez daha doğal logaritma alma işlemine baş bıraktık ve ifade daha karışık bir hale gelecekti ama ilk üzeri X'in türevi nin ne olduğunu bildiğimiz için hemen yazabiliriz eşitliğin her iki yanında türevini alacağız artık Sol Yanında türevini alıyoruz Sağ Yanında türevini alıyoruz şimdi arada kalan bu ifadeyi artık dikkate almayacağız elenenin x göre türevi şuna eşittir Elen yeğenin ye ye göre türevi Yani bir bölü ye çarpı yeğeninin x göre türevi yani de ye bölü de is buna zincir kuralı diyoruz kapalı türevler konusunu işlerken öğrenmiştik bu ifade eşittir birinci Terim in türevi çarpı ikinci Terim hepsini yazayım bazı adımları atlayıp aklımızı karıştırmak istemem eşittir eksi üzeri X'in x göre türevi yani de son değil x çarpı eksi üzeri x çarpı elenen x artı elenirsin ilkse göre türevi Çarpı x üzeri exe şimdi eşitliğin Sağ yanına odaklanılır x üzeri X'in x göre türevi Neydi bunun yanıtını bulmuştuk burada yazıyor eksi üzeri x çarpı elenen x artı bir burayı başka bir renkle yazayım altını Çizdiğim bu bölüm ne olduğunu unuttum dik üzeri x çarpı eğlenecek sanatı bir Evet ilk su üzeri x çarpı felen x artı bir bunu elini x çarpacağız çağırdı elenen X ve buna ne ekleyeceğiz elini X'in türevi ekleyeceğiz elenirsin türevini zaten biliyoruz bir bölü x bir Çarpı x üzeri Exo eşitliğin Sol Yanında bir bölü ye çarpı de ye bölü be bu eşitliğin her iki yanını da y ile çarpa biliriz bu durumda ne olur diye bölü deex eşittir y çarpımı buzun ifadenin tamamı eksik üzeri iks çarpı elenen x artı bir çarpı Eleni x artı bir bölü iki x çarpı x üzeri exe 1/2 x üzeri eksi 1 eşittir onun yerine ilk üzere -1 yazıp ixion kuvvetlerini toplayalım Böylece ne olur ilk üzeri eksi 1 olur değil mi burada ye yazması hoşunuza gitmediyse değiştirebilirsiniz ye buna eşitti Bunu biliyorsunuz Bu tuhaf şey eksik üzeri ilk üzeri iks eşittir Evet ilk başta bakınca kolay gibi görünen ama derinlemesine bakınca anlamını kavrar aldığınız ve Aslında karmaşık olduğunu gördüğünüz Bu sorunun yanıtını şöyle yazabiliriz yeğenin XG bu evi Evet eşittir ye yerine bu ifadeyi yazacağız eşittir eksi üzeri iks üzeri iks çarpı bu ifadenin tamamı yeşil yazayım Çarpı x üzeri 2x çarpı Elen x artı bir Çarpın elenen x artık sen üzeri ikse -1 kimin aklına gelirdi mi matematiksel ifadeler Bazen çok zarif Kent böyle bir ifadenin türevini alırsınız ve çok şık bir ifade elde edersiniz Örneğin ele Nixon türevini alırsınız ve sonuç 1/2 Sir gayet sade ve zarif bir ifade matematiğin bize böyle sonuçlar vermesi güzel tabi Ne var ki bazen bir işlem yaparsınız ilk başta size çok sade ve zarif görünür ama ne kadar karışık ve zahmetli olduğunu daha sonra anlarsınız Neyse yine de epey ilginç bir soruydu abone ol