L'Hopital Kuralı: 0/0 formuna getirme

x bölü x eksi 1, eksi 1 bölü, x'in doğal logaritmasının, x 1'e yaklaşırken limitini bulmak istiyoruz. Önce, x yerine 1 koyalım ve ne olduğunu görelim. Bu ifadenin x eşittir 1 için değerini bulmak istersek, bakalım ne olacak? Burası 1 olur, burası da 1 eksi 1. Yani, 1 bölü 0 çıkar. eksi 1 bölü, 1'in doğal logaritması nedir? e'nin hangi kuvveti 1'i verir? Herhangi bir şeyin 0'ıncı kuvveti 1'i verir o zaman 1'in doğal logaritması 0 olur. O zaman da 1 bölü 0, eksi 1 bölü 0 gibi garip, tanımsız bir sonuca ulaşmış olduk şahane. Bu, l'Hopital (lopital) kuralında gördüğümüz belirsizliklerden bir tanesi değil. 0 bölü 0 veya sonsuz bölü sonsuz, değil. O zaman, şöyle diyebilirsiniz:Tamam, bu l'Hopital kuralıyla çözülmeyecek.Bizde başka bir yöntemle limit bulacağız. Ben de size şöyle cevap vereceğim: Hayır henüz pes etmeyin! Belki bu ifadeyi, cebirsel olarak, l'Hopital kuralının belirsizliklerinden birine çevirebiliriz ve o zaman kuralı kullanabiliriz. Bunu yapabilmek için, şimdi iki ifadeyi toplayalım. Topladığımızda, ortak payda, x eksi 1 çarpı x'in doğal logaritması, olacak. Paydaları çarptım. Pay için ise, bu terimi x'in doğal logaritması ile çarpalım. Yani, x çarpı x'in doğal logaritması ve bu terimi, x eksi 1'le çarpıyoruz.Yani, eksi, x eksi 1. Bunu ayırmak isterseniz, baştakiyle ifadeyle aynı ifadeyi elde edersiniz. Burada x'in doğal logaritması sadeleşir ve x bölü x eksi 1 kalır. Buradaki kısım ise, 1 bölü x'in doğal logaritması, çünkü x eksi 1'ler sadeleşti. Umarım, bu iki ifadeyi sadece topladığımı anladınız. Şimdi, bu ifadenin x 1'e yaklaşırken limitini alalım. Çünkü, bu ikisi aynı şey. İfademiz neydi? 1 çarpı 1'in doğal logaritması. 1 çarpı 1'in doğal logaritması. Yani, burada 0 var. Ve, bu da 0. Eksi, 1 eksi 1, yani bu da 0. 0 eksi 0 eşittir 0. eksi 1 eksi 0 yani bu da 0. 0 eksi 0 eşittir 0. Paydada ise, 1 eksi 1 eşittir 0. Çarpı 1'in doğal logaritması, ki o da 0. Yani, 0 çarpı 0 eşittir 0. İşte oldu. l'Hopital kuralı için gereken belirsizliğe ulaştık. Şimdi, bunun türevini, ötekinin türevine bölüp limit almaya çalıişacağız. Deneyelim. Eğer limit varsa, bu limit, x 1'e yaklaşırken alacağımız şu limite eşit olacak. Türevi morla yazayım. Payın türevi şöyle olacak. Birinci terimde çarpım kuralını kullanalım. x'in türevi 1. O zaman, 1 çarpı, x'in doğal logaritması. Birinci terimin türevi, çarpı ikinci terim. Sonra da, artı, ikinci terimin türevi, 1 bölü x çarpı birinci terim. Yani, 1 bölü x çarpı x, ve bu da 1. Ve sonra, x eksi 1'in türevi, yani burası eksi 1 oldu. Bunun tamamı, bölü paydanın türevi. O zaman, hemen şurada, paydanın türevini alalım. Birinci terimin, x eksi 1'in, türevi, sadece 1. Bunu ikinci terimle çarpın, x'in doğal logaritmasını elde edeceksiniz. Ve artı, ikinci terimin türevi. x'in doğal logaritmasının türevi eşittir 1 bölü x. Çarpı x eksi 1. Bunu biraz sadeleştirebiliriz.Buradaki 1 bölü x çarpı x, 1 olur. Ondan 1 çıkaralım. Bunlar sadeleşir. Buna göre, bu limitin payı, x'in doğal logaritması olacak.Paydası da, x'in doğal logaritması artı x eksi 1, bölü x olacak. Şimdi bu limiti bulalım. x 1'e yaklaşırken, x'in doğal logaritması. 1'in doğal logaritması, 0'dır. Evet burada, 1'in doğal logaritması, yani 0. Ve artı, 1 eksi 1, bölü 1, yine 0.1 eksi 1 eşittir 0. Yani, 0 artı 0 çıktı. Sonuçta, tekrar, 0 bölü 0 bulduk. 0 bölü 0. Tekrar l'Hopital kuralını kullanalım. Türevlerin bölümünü alalım. Eğer bir limit bulacaksak, bu, x 1'e yaklaşırken, payın türevi, 1 bölü x. x'in doğal logaritmasının türevi, 1 bölü x'tir. Bölü paydanın türevi. Paydanın türevi nedir? x'in doğal logaritmasının türevi, 1 bölü x, artı, x eksi 1, bölü x'in türevi. Bunu şöyle düşünebiliriz: 1 bölü x, çarpı, x eksi 1. x üzeri eksi 1'in türevi, birincinin türevi çarpı ikinci, diyoruz. Ve sonra, ikincinin türevi, çarpı birinci. Birinci terimin, x üzeri eksi 1, türevi, eşittir eksi x üzeri eksi 2. Çarpı ikinci terim, çarpı x eksi 1, artı ikinci terimin türevi, 1, çarpı birinci terim, 1 bölü x. Bunu sadeleştirelim. x yerine 1 koyarsak, pay 1 bölü 1, yani 1 olur. Böylece, belirsizlik durumu ortadan kalkmış oldu. Payda ise, 1 bölü 1, yani 1, eksi 1 üzeri eksi 2. 1 üzeri eksi 2, 1'e eşit diyorsunuz. Yani, burası, eksi 1 olur. Sonra bunu, 1 eksi 1'le çarpıyorsunuz. Bu da 0, yani tüm terim sıfırlanacak. Ve yine, artı 1 bölü 1 var. Artı 1. O zaman, bu, 1 bölü 2'ye eşit olacak ve cevabı bulduk. Başlangıçta 0 bölü 0'a benzemeyen bir ifadenin terimlerini topladık, 0 bölü 0 çıktı. l'Hopital kuralını uyguladık. Pay ve paydanın iki kere türevini aldıktan sonra, limiti bulduk.