If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:4:10

L'Hopital (L'Hospital) Kuralı'nı Kullanarak Değişkeni Bulma

Video açıklaması

Karşımızda ilginç bir soru var. Limit, x, sıfıra giderken, karekök içinde 4 artı x, eksi yine karekök içinde 4 eksi ax, bölü x eşittir 3 bölü 4 eşitliğini sağlayan a değerini bulacağız. Peki, hemen, her zaman olduğu gibi, şimdi videoyu durdurun ve bunu kendi başınıza bir deneyin. Evet, denediniz ve cevabı buldunuz. Şimdi birlikte yapalım. Önce bu limiti üstünkörü değerlendireceğim ve x, sıfıra eşitken ne oluyor, ona bakacağım. Eşitliği tekrar yazalım. Limit, x, sıfıra giderken, karekök içinde 4 artı x, eksi yine karekök içinde 4 eksi ax, bölü x. Burası, karekök 4’e eşit olur, çünkü x, sıfırken, 4 artı sıfır, 4 eder. Burası da. Neden? Çünkü a ne olursa olsun, x, sıfır olduğu için, a çarpı x de sıfır olur ve geriye 4 eksi sıfırdan 4 kalır. Evet, x yerine sıfır koyduğumuz zaman, burası 2 oluyor. Burası da. Payda, 2 eksi 2. Ve x sıfıra giderken, payda da sıfır olacağına göre, bunun sonucu, sıfır bölü sıfır, belirsiz olur. Peki, böyle bir sonuçla karşılaştığımızda ne yapacağız? L'Hôpital kuralını uygulayabiliriz. Bunun gibi, yani sıfır bölü sıfır, sonsuz bölü sonsuz gibi sonuçlarla karşılaştığımızda, bu limit, x, sıfıra giderken, payın türevi bölü paydanın türevine eşittir. Payla başlayalım. Ya da bir saniye, payda daha kolay görünüyor, önce paydayı yapalım. x'in... Başka bir renk seçeyim. x’in, x’e göre türevi, 1’dir. Evet, sıra payda. Paydaki ifadenin x’e göre türevi, Bu, 4 artı x üzeri 1 bölü 2’dir, öyle değil mi? O halde, bunun türevi için, 1 bölü 2 çarpı 4 artı x üzeri eksi 1 bölü 2, yazıyorum. Burada zincir kuralını uyguladık. Yani x artı 4’ün türevi 1 olduğu için, bunu, 1’le çarptık. Şimdi bunu değerlendirelim. Zincir kuralını uyguladığımızda, karekök içindeki ifadenin, x’e göre türevi, eksi a olacak. Onun için, bunu eksi a ile çarpacağız. Parantezin önünde de eksi olduğu için, artı koyuyorum. a çarpı, 1 bölü 2 çarpı 4 eksi ax üzeri eksi 1 bölü 2. Evet, bunun türevi için, zincir ve kuvvet kurallarını kullandık. Peki, bunun sonucu ne olur? Bölü 1 koyduk. Şimdi, x, sıfıra giderken, 4 artı sıfır, 4 olur. O zaman bu, 4 üzeri eksi 1 bölü 2, yani 1 bölü 2 olacak. 4 üzeri 1 bölü 2, 2 eder, 4 üzeri eksi 1 bölü 2 ise, 1 bölü 2. Evet, devam... x sıfıra giderken, bu da, 4 üzeri eksi 1 bölü 2, yani 1 bölü 2 olur. Evet, sonuca ulaşmak için, elimizde ne var? 1 bölü 2 çarpı 1 bölü 2, 1 bölü 4. Sonra, burada ne var? a çarpı 1 bölü 2, çarpı 1 bölü 2, yani artı a bölü 4. Bu ikisini toplarsak, a artı 1 bölü 4 olur. Peki, soruda söylendiği gibi, bunun 3 bölü 4’e eşit olması için, a’nın kaç olması gerekir? Çok kolay. a artı 1, 3’e eşitse, a, 2'dir. Evet, a eşittir 2. Bu kadar.