If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Bir Tanecik Tarafından Gidilen Mesafe

Bir fonksiyonun zamana göre konumunu belirten bir fonksiyon verildiğinde, toplam gidilen uzaklığı nasıl bulabilirsiniz? Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Video açıklaması

Bu bir sayı doğrusu üzerinde hareket etmekte olan bir parçacığın konumu aşağıdaki fonksiyon ile tanımlanmış Este eşittir 2/3 de üzeri3 -6 tek kare artı 10t burada düğün sıfırdan büyük ya da eşit değerlerin hesaba katacağız Bir de teyi saniye türünden değerlendirmemiz gerektiğini söylemişler parçacı ilk altı saniyede hem sağ hem de sol hareket etmektedir demişler ve parçacığın sıfır küçük eşitte küçük eşit altı arasında kat ettiği toplam mesafeli bulunuz diye sormuşlar isterseniz işe toplam Mesafenin ne anlama geldiğini hatırlayarak başlıyor Şimdi mesela Eğer bu noktadan başlayıp sağa doğru 3 birim ve sola doğru da dört birim gidersem Bu arada sola doğru 4 birim için -4 yazacağım buradaki toplam mesafe 7 13 ve sola 4 birim topladığımızda 7 birimi elde ederiz bunu -1 olan konumla ya da yer değiştirme dersek daha doğru olur evet karıştırmamak lazım başladığımız noktanın bir birim sonuna geldik ama kat ettiğimiz toplam mesafe 71 Evet böyle küçük bir hatırlatmadan sonra isterseniz hemen videoyu durdurun ve ilk altı saniyede parçacığın kat ettiği toplam mesafenin neye eşit olduğunu bulmaya çalışır bunu düşünmenin en kolay yolu parçacığı ne zaman sana ne zaman da sola gittiğini bulmaktan geçer parçacık hızı pozitif olduğunda sağ negatif olduğunda da sola hareket ediyor olacak öyle değilim ne demek istediğim rızın ne zaman Negatif ne zaman da pozitif olduğunu bulursak işimizi halletmiş olacağız Öyleyse hemen bir grafik çizen ve soruyu çözmeye başlıyor Bu konu fonksiyon olduğuna göre hız fonksiyonunu elde etmek için bunun zamana göre türevini alabiliriz 2/3 tek küpün C ye göre türevi 2 tekrar edilir sonra da -12 tv artı 10 grafiği çizecek olursak daha bunun kolları yukarı yönlü bir parabol olacağını biliyoruz nasıl diyecek olursanız ikinci dereceden Terim'in katsayısı pozitif olduğu için bu kolları yukarı yönlü bir para pul Evet buna benzeyen bir parabol den bahsediyoruz parçacığın yön değiştirdiğini bildiğimize göre bunun zaman zaman pozitif zaman zamanda negatif olacağını da söyleyebiliriz negatif olduğunda te eksenini kesiyor olması lazım Evet fonksiyon bu Aralıkta negatif olacak aslına bakarsanız yapması en kolay olan şey herhalde bunun ne zaman sıfır eşit olacağını bulmak çünkü Eğer bu noktaları bulursak kolları yukarı yönlü olan bu parabolü kolaylıkla çizebiliriz bunu sıfır yapan noktaları bulmak için ifademizi Sıfıra eşit diyelim ilki tek ve eksi 12t artı 10 eşittir sıfır bu 2'den kurtulmak için iki tarafı da ikiye bölelim Böylece tekrar eeksi 6t artı 5 eşittir sıfıra Geliriz bu denklemi sağlayan K değerleri Bir bakalım Evet bunun çarpanlarını te -1 çarpı te -5 olarak yazabilirim -1 çarpı eksi 55 eder -1 artı eksi 5tx 600'e eşittir sıfır da unutmayalım bu denklemin sıfır olmasını sağlayacak de değerleri bu terimlerin ikisinden birini sıfır yapacak değerleridir Öyle değil mi yani Bunlardan biri sıfır olduğunda bu çarpımda sıfır olur Bu da Tenin bir ya da beş değerlerini almasıyla mümkündür ve sıra geldi grafiğe Eksen lerimizi çizelim bu hız exe elimiz Olsun bu da Tenin pozitif değerlerini ele alacağımız de yani zaman etsin Evet burası bu bak bir iki üç dört ve beş Aslında devamlı edebiliriz altı diyelim Evet burası bir Burası da beş kolları yukarı yönlü olan ve bu noktalardan geçen bir parayı noktasında bunların tam ortasında yani te eşittir üçlü olacak öyle dediğim Mehmet kolları yukarı yönlü olan ve bu noktalardan geçen bir parabolü Ancak bu şekilde çizebiliriz Şöyle devam edecek buranın olduğunu da teyze sıfıra eşitleyerek bulabiliriz bakalım te0 olduğunda hız on olduğuna göre ve ekseni Kesim noktası olacak işte böyle şimdi hızın te eşittir sıfır ile te eşittir bir arasında pozitif olduğunu görüyoruz aynı durum trenin beşten değerleri için de geçerli ama hız te eşittir 1 lt eşittir 5 arasında Akif parçacık hızın te ekseni altında kaldı bu Aralıkta sola doğru bu hareket ediyor evet bu Aralık date ekseninin altında yani negatif isterseniz Şimdi de tüm bu zaman değerlerinde yani te eşittir sıfır te eşittir bir te eşittir 5 ve 6 da konumun neye eşit olduğunu bulmaya çalışalım bundan sonra tüm bu Aralıkta toplam ne kadar mesafe kat edildiğini hesaplayabiliriz Hadi bakalım hemen küçük bir tablo çizelim buraya zamanı buraya da konumu koyalım ne demiştik Tenin sıfır bir 5 ve 6 değerlerini değerlendirmemiz lazım değil at0 gen konumun sıfır olduğunu biliyoruz hemen yazıyorum sıfıra eşitler T1 olduğunda 2/3 -6 artı ondan 4 tam 2/3 elde edeceğiz P5 olduğunda sanırım bunu yazmam gerekecek 2 bölü 3 çarpı 100 15 bu 250/3 eşittir Bu da Bir bakalım 83 kr33 249 eder evet 83 tam 1/3 -6 artı 25 Yani -150 artık on çarpı 5 yani 50 eşittir sadeleştir elim -150 artı 50 -100 eder 83 tam 1/3 -100 ise -16 tam 2/3 eşittir Evet parçacığın beş saniye sonraki konumu buymuş devam edelim altı saniyede 2 bölü 3 çarpı altı üzeri3 -6 çarpı altı yani 653 artı 60 bunu sadeleştirerek olursak burayı 653 parantezine alalım geriye altı üzeri üç çarpı iki 13 -1 kartı 60 ekranı biraz aşağı Kaydır ayım altı üzeri üç çarpı eksi 1 bölü 3 artı 61 bakalım 6'nın karesi çarpı altı çarpı eksi 1 bölü 3 artı 60 Burası -2 eşittir eksi iki çarpı 36 -72 eder artı 60 da -12 şimdi de kat edilen toplam mesafeli bulmamız gerekiyor öyle değilim Önce sağa doğru 4 tam 2/3 birim gidiyor hemen not edelim sağa doğru 4 tam 2/3 sonra 4 tam 2 bölü üçgen -16 tam 2 bölü 3 e gelmek için sola doğru önce 4 tam 2/3 birim sonra da 16 tam 2/3 birim yol Kat etmek gerekir neden diyecek olursanız 4 tam 2/3 neydi öyle değil mi buradan org 3 ilmek için 4 tam 2/3 birim yol kat ederiz -16 tam 2 bölü 3 e gelmek için de bir 16 tam 2/3 birim daha gitmemiz gerekir Bunun içinde parçacığın buradan buraya gelebilmesi için sola doğru 4 tam 2/3 Artı 16 tam 2/3 birim yol kat etmesi gerekir isterseniz bunun bu İki nokta arasındaki fark olduğunu da düşünebilirsiniz ve 2 tam 2 bölü 3 eksi eksi 16 tam 2 bölü 3 4 tam 2/3 Artı 16 tam 2/3 eder sonra da buradan yani -16 tam 2 bölü 3 ten eksi 12'ye geliyor Ve bu da sağa doğru 14 tam 2/3 birim daha demektir Evet sağa doğru 4 tam 2/3 şimdi bunların hepsini topladığımız da da kesirleri toplamak için 2/3 ne yaptığımızı düşünmek daha kolay Yani 8/3 elde ederiz sonra da dört artı dört artı 16 artı 4'ten 28 buluruz ve 28 tam 8/3 de bir bakalım 8/3 2 tam 2 bölü 3 eşittir O halde Toplamda 30 tam 2/3 birim parçacık ilk altı saniyede Toplam 30 tam 2/3 birim yol katetmiş