Türevin Limit Cinsinden İki Farklı Tanımı - 1. Örnek

f fonksiyonunun a noktasındaki alternatif formdaki türevi, f'(a) olarak gösterilir. Bu şekilde verilmiş. Evet, ilk bakışta biraz garip gelebilir ama yakından incelediğinizde, hatta grafik üzerinde görelim, mesela, bu f fonksiyonu olsun, bu x eşittir a noktası, burası x ekseni, ve bu da, a virgül f(a) noktası. Evet, aynen buradaki a ve f(a) gibi. Sonra, bu noktayla, rastgele seçtiğimiz başka bir nokta arasındaki eğimi hesaplayabiliriz. Diğer nokta da x olsun. Burası, x virgül f(x) noktası. x ve f(x)’i de işaretliyorum. Evet, ne görüyorsunuz? Payda, fonksiyonun değerindeki değişim var. Bu aynı zamanda, düşey eksendeki değişimdir ve bu uzaklığı verir. Paydada ise, yatay eksendeki ya da koordinatlardaki değişim var. Bunu farklı bir renkle gösterelim. İşte yatay eksendeki değişim. Sonra da, x, a’ya yaklaşırken, bu ifadenin limitini alıyoruz. x, a’ya yaklaştıkça, bu iki nokta arasındaki kesenin eğimi, a noktasındaki teğetin eğimine yaklaşacak. Limiti, x, a’ya giderken alıyoruz. Yani, x hiçbir zaman a’ya eşit olmayacak ama çok yaklaşacak. Bu limit bize, teğetin eğimini, tabii eğer böyle bir teğet varsa, türevin alternatif tanımını verecek. Evet, bu küçük hatırlatmadan sonra, gelin, bir de, soruyu yanıtlayalım. Alternatif formun tanımını kullanarak, aşağıda verilen limit ifadesini değerlendirip, f(x) ve a’yı bulunuz. Peki... Burada, x, 5’e eşitken, o noktadan geçen teğetin eğimini bulmamız istenmiş. Burada, a’dan geçen teğeti bulmamızı istiyorlardı, burada da 5’ten. O halde, a, 5’tir. f(a) ise 125. Peki ya f(x)? Hemen bakalım. Burada f(x) eksi f(a) var. Burada da, x üzeri 3 eksi 125. Yani f(x), x üzeri 3. Bakın, eğer f(x), x üzeri 3’e eşitse, f(5), 5 üzeri 3, yani 125’tir. Yukarıda, x, a’ya giderken limit alıyorduk, burada, x, 5’e giderken. O halde, bu x üzeri 3 fonksiyonunun, a eşittir 5 noktasındaki türevidir diyebiliriz. İsterseniz bir de grafiğini çizelim. Görelim ki daha iyi anlayalım. Bu y ekseni, bu da x ekseni. Burası y eşittir 125. Burası da x eşittir 5. Gördüğünüz gibi, aynı ölçekte değiller. Evet, x üzeri 3 fonksiyonunun buna benzediğini hatırlayabilirsiniz, hatırlamıyorsanız da, x üzeri 3’ü bu şekilde çizebilirsiniz. Peki, devam edelim. a, 5’e eşit olacak. Bu nokta da, 5 virgül 125. Şimdi de, a ile rastgele seçeceğimiz başka bir nokta arasındaki kesenin eğimini bulacağız. Evet, mesela bu. f(x), x üzeri 3’e eşit olduğu için, bu nokta, x virgül x üzeri 3 olacak. Şunu da yazalım... Bu, y eşittir x üzeri 3’ün grafiği. Güzel. Bu ifade, bu iki nokta arasındaki kesenin eğimidir demiştik. Ve bu ifadenin, x, 5’e giderken limitini alırsak, yani x, 5’e yaklaştıkça,iki nokta arasında çizebileceğimiz kesenlerin eğimi, giderek x eşittir 5 noktasındaki teğetin eğimine yaklaşacak. Sonuç olarak, bu teğet de, buna benzeyen bir şey olacak.