If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:5:07

Video açıklaması

Bu videoda karekök x’in türevinin kanıtı yapacağız. Karekök x’in türevinin, başka bir renk kullanalım, Limit, delta x sıfıra giderken, bazıları delta x yerine, h ya da d de kullanır, ben delta x’i kullanacağım. Ne diyorduk? Delta x sıfıra giderken, fx artı delta x, Buradaki fx, karekök x olduğu için, karekök içinde x artı delta x, Eksi fx, yani karekök x, bölü delta x. Şu anda sadeleştirebileceğim çok da bir şey yok, o halde, payı ve paydayı, payın eşleniği ile çarpalım. Peki, bu ne demek? Baştan yazıyorum. Limit, delta x sıfıra giderken, karekök x artı delta x eksi karekök x bölü delta x. Bunu, karekök x artı delta x artı karekök x bölü karekök x artı delta x artı karekök x’le çarpacağım! Payın eşleniği, budur! Anladınız değil mi? Bu 1’e eşit. Ve x ve delta x de sıfırdan farklı olduğu için bunu yapmamda hiçbir sakınca yok! Kısacası, bunu, 1 bölü 1’le çarpıp, delta x sıfıra giderken limit alacağım. Devam edelim. Limit delta x sıfıra giderken, bu a eksi b çarpı a artı b, değil mi? Hemen küçük bir hatırlatma yapayım, a artı b çarpı a eksi b, a kare eksi b kare’ye eşittir! Burada da benzeri olduğu için, a kare, yani bunun karesi, nedir? X artı delta x! Eksi b kare’de,x’tir! Bölü delta x çarpı karekök x artı delta x artı karekök x! Bakalım, şimdi sadeleştirme yapabilecek miyiz? Burada bir x, bir tane de eksi x var. bunlar birbirini götürür. Payda ve payda da delta x kaldığı için, ikisini de delta x’e bölelim. Bu 1 oldu, bu da 1 oldu. Sonuç olarak, limit, delta x sıfıra giderken, 1 bölü karekök x artı delta x artı karekök x yazabiliriz. Bu arada delta x’in sıfır olmadığını varsayıyoruz, çünkü sıfıra giderken limit aldığımız için, sıfır olmayacak, sadece sıfıra yaklaşacak! peki, delta x sıfıra giderken, limit alırsak, işte, şimdi, delta x’i sıfıra eşitleyebiliriz, nasılsa sıfıra yaklaşıyor, öyle değil mi? 1 bölü karekök x, delta x’i görmezden gelelim, artı karekök x! Bu, 1 bölü 2 karekök x’e eşittir! Ve bu da, 1 bölü 2 x üzeri eksi 1 bölü 2’ye! Evet! karşınızda, karekök x’in türevinin, 1 bölü 2 x üzeri eksi 1 bölü 2 olduğunun kanıtı var! Ve bu sonuç, kuvvet 1 bölü 2 olsa bile, x üzerin n’in türevinin, n çarpı x üzeri n eksi 1 olması kuralına da uyuyor! Evet, henüz bütün kesirleri görmedik ama bu bir başlangıç! Umarım, bu basit üstel ifadenin türevinin kanıtını faydalı buldunuz. Önümüzdeki videolarda görüşmek dileğiyle.