Tam Diferansiyel Denklemler Örnek 2

Tam diferansiyel denklemlerle ilgili birkaç örnek daha yapalım. Bu problemleri eski okul kitabımın eski kolej kitabımın 80.sayfasından aldım.Bu kitap neymiş ?Temel Diferansiyel Denklemler 5. Baskı. Yazarları da William Boyce ve Richard Dİ Prima Burada kimsenin hakkını yemeyelim ben bu problemleri onların kitabından aldım. O yüzden onları da onore etmemiz gerek. Neyse size bir grup denklem vereceğim. Bunların tam olup olmadığını bulacağız eğer tamsa tam diferansiyel denklemler hakkında bildiklerimizi kullanarak cevabı bulmaya çalışacağız. Buradaki ilk denklem: 2x artı 3 artı 2y eksi 2, çarpı y üssü eşittir 0. Bu bizim M fonksiyonu bu da N fonksiyonudur. Buna M, buna N diyebilirsiniz. Ayrıca eğer tam denklemse, önce bir tam olup olmadığını deneyelim.Sonra psi den bahsedeceğiz. Psi Bunun y ye göre kısmisi nedir? M'nin y ye göre kısmisi. Burada y olmadığı için sıfırdır. Bunun y ye göre değişme oranı eşittir 0. Peki x e göre bunun değişme oranı nedir? N' nin x e göre kısmisi eşittir iyi de burada x yok ? x açısından bunlar sabit oldukları için bütün bu 0 olacak. Gördüğünüz gibi her ikisi de 0. M nin y ye göre kısmisi eşittir N nin x e göre kısmisi. O zaman bu tamdır. Aslında burada tam denklemleri kullanmak zorunda değiliz. Alışmak için yapacağız. Ama buraya baktığınızda, bunun ayrılabilir bir denklem olduğunu görebilirsiniz. Neyse bu tamdır. Tam olduğunu biliyorsak,bu demektir ki bir tane Psi fonksiyonu vardır. Bu psi x ve y'ye bağlıdır. Psi nin x ye göre kısmisi eşittir 2 x artı 3 Ve psi nin y ye göre kısmisi eşittir, 2y eksi 2. Ve eğer psi yi bulursak bu da psi nin türevidir. Biliyoruz ki psi nin x e göre türevi eşittir psi nin x e göre kısmisi artı psi nin y ye göre kısmisi çarpı y üssü. Ve bununla tamamen aynı formda. O zaman y yi bulursak, bunu yeniden yazabiliriz. dx, yani psi nin x e göre türevi eşittir 0. Renkleri değiştireyim yoksa monoton olmasın. Bulacağımız psi nin x e göre kısmisi budur ve y ye göre kısmisi de budur. O zaman bunu yeniden şu şekilde yazabiliriz. Ve biz bunu nereden biliyoruz? Çünkü psi nin x e göre t ürevi kısmi türevler zincir kuralını kullanarak budur. x e göre kısmi budur. y ye göre kısmi budur çarpı y üssü. Bu tam denklemlerin püf noktasıdır. Neyse biz psi mizi bulalım. Aslında bulmadan önce eğer psi nin türevi x e göre 0 a eşitse ve her iki tarafın da entegralini alırsanız bu denklemin çözümü psi eşittir c dir. Ve bu bilgiyi kullanarak,eğer psi yi bulursak o zaman bu diferansiyel denklemin çözümü psi eşittir c dir. Ve eğer başlangıç koşulları varsa, o zaman c yi de bulabiliriz. O zaman haydi psi yi bulalım. Önce denklemin her iki tarafından da x e göre entegralini alalım. Bunu buluruz: psi eşittir x kare artı 3x artı y nin bir fonksiyonu. Ona h diyelim. Hatırlarsınız normalde entegral alırsanız burada sadece bir artı c var değil mi? Ama diyebilirsiniz ki biz kısmi integral aldık. O zaman x e göre kısmi türev alınca sadece sabit sayıları kaybetmiyorsunuz, normalde burada artı c olur aynı zamanda sadece y nin olan fonksiyonları da kaybediyorsunuz. Mesela bunun kısmi türevini alın x e göre olsun,bunu elde edeceksiniz değil mi? Çünkü sadece y nin olan bir fonksiyonun kısmi türevi x e göre 0 olacaktır. Yani ortadan kaybolacak. Neyse ,bunun integralini alıyoruz ve şunu buluyoruz. Şimdi bu bilgiyi kullanacağız. Bu ifadenin kısmisini alırız ve deriz ki bu ifadenin y ye göre kısmisi buna eşit olmalı ve sonra h yi bulmaya çalışırız ve işimiz biter. Haydi bunu yapalım. Psi nin y ye göre kısmisi eşittir bu. 0,0,0 olacak. Bu kısım x in bir fonksiyonu. Eğer y ye göre kısmi alırsanız cevap 0 olur. Çünkü y nin bakış açısından bunlar sabit değer. Böylece size kalan y nin fonksiyonu olan h üssüdür. Böylece anlarız ki y nin h üssü,ki bu psi nin y ye göre kısmisi oluyor eşittir bu. Y nin h üssü eşittir 2y eksi 2. Ve y nin h fonksiyonunu bulmak istiyorsak, her iki tarafın da y 'ye göre entegralini alırız eşittir y kare artı düzeltiyorum y kare eksi 2y. Şimdi burada bir artı c olabilirdi, bir önceki örneğe baktıysanız görüceksiniz ki c sanki öteki c ile birleşiyor o yüzden endişelenmenize gerek yok. Şimdi psi fonksiyonumuz nedir ? artı c yi kafaya takmazsak. psi eşittir x kare artı 3 x artı h ki biz h yi bulmuştuk. Artı y kare eksi 2 y. Ve baştaki diferansiyel denklemimizin bir çözümünün psi eşittir c olduğunu biliyoruz. O zaman diferansiyel denklemimizin çözümü şudur bu eşittir c. x kare artı 3 x artı y kare eksi 2 y eşittir c. Bazı ek şartlar verilseydi bunu test edebilirdik. Ve bunu orijinal denklemde test etmenizi kesinlikle tavsiye ediyorum. ya da psi nin türevini alın ve kendinize ispat edin ki eğer psi nin x e göre türevini alırsanız,burada,örtülü olarak bu differansiyel denklemi elde ederiz. Neyse başka bir tane yapalım. Ne kadar çok örnek çözerseniz o kadar iyi görürsünüz. Bakalım bu diyor ki 2x artı 4y ,artı 2x eksi 2y, çarpı y üssü eşittir 0. Bunun y ye göre kısmisi nedir? M, M nin y ye göre kısmisi bu 0 dır. o zaman eşittir 4. Bunun x e göre kısmisi nedir? Sadece bu kısım buradaki yani. N nin x e göre kısmisi de 2 dir. Bu sıfırdır. O zaman M nin y ye göre kısmisi N nin x e göre kısmisinden farklı. Demek ki bu tam değil. O zaman bunu tam metoduyla çözemeyiz. Bu bayağı kolay bir problemdi. şimdi başka bir tane yapalım. Ama bu arada vaktimde azalmış, o yüzden bunu bir sonraki videoda yapalım, hoşçakalın..