İntegrasyon Faktörleri 2

Geçen videoda bir diferansiyel denklemimiz vardı... Ve en azından tam gibi duruyordu. Ama bu ifadenin y'ye göre kısmi türevini alınca ki buna M dedik, bu ifadenin x e göre kısmi türevinden yani N'den tam denklemlerde ikisinin de aynı olması gerekirken farklı olduğunu gördük. x e göre alınan türev N idi değil mi ve farklıydı. Ve dedik ki eyvah tam değil. Ama biz bu denklemin her iki tarafını da peki aynı fonksiyonla çarpıp tam yapsak nasıl olur ? Buna da mü demiştik. Evet çok seviyorum bu harfi. Geçen videoda mü yü bulduk. Ve dedik ki bu denklemin her iki tarafını da mü (x) eşittir x ile çarparsak bu bir tam diferansiyel denklem olur. Burda dikkat edelim yalnız bir y fonksiyonu da olabilirdi öyle ki her iki tarafı onunla çarparsak o da denklemi tam yapabilirdi. Ya da aynı şeyi yapacak bir x ve y fonksiyonu olabilirdi. Ama bizim amacımız sadece bunu tam yapmak. Hangisini seçtiğimiz önemli değil hangi entegrasyon faktörünü buna bu arada entegrasyon faktörü diyoruz . Hangi entegrasyon faktörünü seçtiğimiz önemli değil.Neyse hadi yapalım. Şimdi problemi çözelim. Denklemin her iki tarafını da mü ile çarpalım ve mü x cinsinden eşittir x. Her iki tarafı da x ile çarpalım. Bu terimi x ile çarparsak 3 x kare y artı xy kare ,şimdi bu terimleri x ile çarpıyoruz , şimdi, artı x in üçüncü kuvveti artı x kare y, y üstü eşittir 0. İlk olarak kontrol etme amacıyla bunun tam denklem olduğuna emin olalım. Bu ifadenin daha doğrusu alt fonksiyonun y ye göre kısmisi nedir ? 3 x kare, bu bir çeşit y nin sabit katsayısı gibidir . artı 2xy, bu ifadenin y ye göre kısmisidir. Şimdi bunun x e göre kısmisini alalım. 3 x kare artı 2 xy buluruz. İşte bulduk. Bunun y ye göre kısmisi eşittir bunun N ye göre kısmisi. Şimdi elimizdeki tam denklemin çözümü bununla aynı olmalıdır. Tüm yaptığımız denklemin her iki tarafını da x le çarpmak. Onun için bu denklemin cevabını değiştirmemeli veya bu diferansiyel denklemin. Tamamdır, haydi çözelim. Nasıl yapacağız. Söylicemiz şu, bunun tam olduğunu gösterdiğimize gore biliyoruz ki öyle bir fonksiyon psi var ki bu psi nin x e gore kısmisi eşittir burdaki ifade yani eşittir 3 x kare y artı xy kare. Her iki tarafın da x e göre entegralini alalım ve psi eşittir ne buluruz? x in üçüncü kuvveti y artı,şöyle yazabiliriz 1 bölü 2 x kare y kare. Ve tabi bu psi x ve y e bağlı bir fonksiyon olduğu için x e göre kısmisini alırsanız , o tarafa giderseniz , arada sadece y'ye bağlı bir fonksiyon varsa onu kaybedersiniz. Onun için burda artı c yerine bizim kaybettiğimiz, yok ettiğimiz bütün bir y'ye bağımlı fonksiyon da olabilirdi. Bunu türev aldığımız bir y değişkenli fonksiyon bir y değişkenli fonksiyon olabilirdi. Integrali aldığımız zaman da tekrar ekleyeceğiz. Bu bizim psi. Ama daha işimiz bitmedi çünkü bu y fonksiyonunu bulmamız lazım. Bulmak için de şunu kullanacağız bunun y ye göre kısmi türevinin buna eşit olduğu bilgisini kullanacağız. Bunu yapalım. Bu ifadenin y ye göre kısmisi nedir? Şöyle yazabilirim: psi nin y'ye göre kısmisi eşittir x in üçüncü kuvveti artı 2 kere 1 bölü 2 yani sadece x kare y artı h üstü( y). Bu sadece y içeren bir fonksiyonun y 'ye göre kısmisidir. Bunun da yeni Nye eşit olması gerekir, ya da entegrasyon faktörü ile çarptıktan sonra elde ettiğimiz ifadeye yani burdakine eşit olması lazım. Evet umarım bunlar size biraz mantıklı geliyordur. Bu da x in üçüncü kuvveti artı x kare y'ye eşit olmalı. Ve ilginçtir ki bunların ikisi de bu taraftadır. Bu terimlerin ikisini de iki taraftan da çıkaralım. x in üçüncü kuvveti,x in üçüncü kuvveti, x kare y, x kare y. Bize kalan h üstü( y) eşittir 0. Ya da h(y) eşittir bir sabit. O zaman demek ki y yok,fazladan bir y fonksiyonu da yok. Sadece geriye kalmış bir sabit değer var. Biz o zaman diyebiliriz ki psi, eşittir, bu. Bu bir sabit olduğu için,integrali zaten alıcaz, ve sağ tarafta bir sabit elde edeceğiz. Bundan önceki videoda bütün sabitler birleşmişti. Onun için psi mizin bu olduğunu varsayıcaz ve biliyoruz ki burdaki bu diferansiyel denklem psi nin x e göre türevi olarak yazılabilir ve bu da kısmi türev zincir kuralından gelir. psi nin x e göre türevi eşittir 0. Eğer psi nin x e göre türevini alırsak ,bütün bu kısma eşit olur. Ve psi nin ne olduğunu biliyoruz. O zaman yazabiliriz ki aslında yapmak zorunda değiliz ama. Bu gerçeğe dayanarak diyebiliriz ki,eğer her iki tarafın da integralini alırsak, bu diferansiyel denklemin bir çözümü psi eşittir c olur. Sadece her iki tarafın da entegralini aldık. Bu diferansiyel denklemin bir cevabı psi eşittir c. Psi eşittir x in üçüncü kuvveti y artı 1 bölü 2 x kare y kare. Burda artı c de diyebilirdik ama cevap biliyoruz ki psi eşittir c dir onun için buraya sadece onu yazıcaz. Buraya artı c yazabilirim ama burda zaten artı c var. Burda bir başka sabit var. Ve onları her iki taraftan da çıkarabilirsiniz. Ve ikisi birleşip yeni herhangi bir başka sabit olur. Neyse işte bulduk. Elimizdeki diferansiyel denklem en azından yüzeysel de olsa tam gibi duruyordu. Tama benziyordu ama test ettiğimiz zaman tam olmadığını gördük. Ama bir entegrasyon faktörü ile çarptık. Ve bir önceki videoda bir entegrasyon faktörü bulmuştuk ve her iki tarafı da x ile çarptık. Bunu yaptıktan sonra kontrol ettik. Ve gördük ki tamdı. Ve onun x e göre türevi bütün bu ifadeye eşit olacaktır. Diferansiyel denklemimizi yeniden şöyle yazabiliriz. Ve biliyoruz ki cevaplardan biri psi eşittir c dir. psi yi bulmak için tamam deriz x e gore psi nin kısmi türevi buna eşit olacak. İki tarafın integrali ,ve bir sabit h( y ) var sabit değil bir y fonksiyonu var h ( y ) ki biz onu x e göre kısmi türev alırken kaybetmiş olabiliriz. Bunu bulmak için bu ifadeyi alırız. Y ye göre kısmisini alırız ve bunu N ye eşitleriz. Bunu yapınca y fonksiyonu nun sadece bir sabit olduğunu buluruz. Ve bunu buraya yazabiliriz. Bu artı c yazabilirdik.Buna c1 veya başka birşey diyebilirdik. Ama biliyoruz ki baştaki denklemimizin cevabı psi eşittir c dir. Böylece diferansiyel denklemimizin cevabı psi x in üçüncü kuvveti y artı 1 bölü 2 x kare y kare eşittir c. Bu artı c1 de olabilirdi, iki taraftan da çıkarırdık.Artık o kadar çok söyledim ki anlamışsınızdır, eğer h( y) sadece bir sabitse görmezlikten gelebilirsiniz. Neyse şimdilik bu kadar.Bir sonraki videoda görüşmek üzere.