Birinci Dereceden Homojen Denklemler 1

Homojen diferansiyel denklem konusuna bir başlangıç yapalım. Homojen sözcüğünü bu kelimeyi günlük hayatta da kullanıyoruz. Sütün içindeki yağ eşit olarak mesela sütün içine dağıldıysa, yayıldıysa.. homojenize süt diyoruz mesela.. Matematiksel olarak tam olarak anlamını göremiyorum, neyse. Homojen diferansiyel denklem. Diferansiyel denklemlerin içinde de farklı bir tip homojen diferansiyel denklem olduğunu ileride öğreneceğiz Bu denklemlerin adı homojen doğrusal diferansiyel denklemler. Ama, anlamları isimlerinden çok farklı. Yani ismi ile kendisi arasında pek bir bağıntı göremiyorum. Neyse, ben size hemen homojen diferansiyel denklemleri bir göstereyim. Birinci dereceden denklemleri öğreniyoruz. Homojen diferansiyel denklemin anlamı nedir? Herhangi birinci mertebeden dereceden bir diferansiyel denklemi yazalım. d y d x x ve y cinsinden bir fonksiyona eşit olacak. Yazmaya çalışalım, ayrılabilir olmak zorunda değil. Eğer homojen ise, yerine koyma yöntemini uygulayabiliyoruz. Ve, yerine koyma yöntemini uyguladıktan sonra, denklem ayrılabilir hale geliyor. Bunu size göstermeden önce, homojenin anlamını açıklamam gerek. Sağ tarafı, x ve y cinsinden bir fonksiyon yerine, büyük f y bölü x olarak yazabilirsem, sonra yerine koyma yöntemini uygulayabilirim. Evet şu anda, her şey bayağı karışık gelebilir. Hemen bir örnek göstereyim. Size örnekleri göstereyim, ve sonra da yerine koyma yöntemini uygularız. Diferansiyel denklemim şöyle olsun: y'nin x'e göre türevi eşittir, x artı y, bölü x. Bunu ayrılabilir hale getirebilirsiniz, ama çözmesi kolay değil. En azından, şöyle bir baktığımda, kolay gözükmüyor. Burada türevi görüyoruz. türev, x ve y cinsinden bir fonksiyon. Size sorum şu: Bu fonksiyonu, y bölü x cinsinden bir fonksiyon olarak yazabilir miyim? Paydaki iki terimi x'e bölersek, bu olabilir. Yani, x bölü x artı y bölü x. Bu denklem, d y d x eşittir şu ile, aynı. Bu denklemi baştan yazarsak, d y d x eşittir, x 0 olmadığı sürece, x bölü x eşittir 1. Artı y bölü x. y bölü x cinsinden bir fonksiyonla ne kastettiğimi şimdi merak ediyorsunuzdur. Burada görebilirsiniz. Denklemi baştan yazdığımda, 1 artı y bölü x elde ettim. y bölü x'i üçüncü bir değişken olarak düşünsem, bu fonksiyon, bu üçüncü değişken cinsinden bir fonksiyon olur. Buna devam edelim. y bölü x yerine bir değişken koyalım. v eşittir y bölü x, diyelim. Veya iki tarafı da x'le çarparsak, y eşittir x v de diyebiliriz. Eğer y bölü x'in yerine v'yi koyacaksak, d y d x için de aynı şekilde yerine koyma yöntemini uygulamalıyız. d y d x'i v'nin türevi cinsinden yazalım. y'nin x'e göre türevi eşittir, bunun x'e göre türevi nedir? v'nin x cinsinden bir fonksiyon olduğunu varsayarsak, çarpım kuralını uygulayacağız. x'in türevi 1 çarpı v artı x çarpı v'nin x'e göre türevi. Şimdi bunu ve şunu bu denkleme geri koyabiliriz ve d y d x eşittir bu. v artı x d v d x, sol taraf eşittir 1 artı y bölü x. y bölü x yerine v koyuyoruz. Yani, 1 artı v. Evet bundan sonrası kolay olmalı. İki taraftan v çıkaralım. Geriye ne kaldı? x d v d x eşittir 1. İki tarafı x'e bölelim. v'nin x'e göre türevi eşittir, o zaman 1 bölü x Şimdi cevabın ne olacağı açığa çıkmaya başladı. Devam edelim. İki tarafı d x'le çarparsak, d v eşittir 1 bölü x çarpı d x. Şimdi iki tarafın terstürevini, integralini alabiliriz. Sonuç, v eşittir, mutlak değer x'in doğal logaritması artı c. Bitti gibi ama v yerine, cevabı x ve y cinsinden yazarsak daha iyi olur. Sorumuz x ve y cinsindendi çünkü. O zaman öyle yapalım. v neydi? V eşittir y bölü x dedik ve şimdi v yerine y bölü x'i koyalım. Yani, y bölü x eşittir, mutlak değer x'in doğal logaritması artı bir sabit. İki tarafı x'le çarpalım. y eşittir x çarpı mutlak değer x'in doğal logaritması artı c. Şimdi bitti. İlk başta ayrılabilir görünmeyen bir diferansiyel denklemin homojen olduğunu fark edip, y bölü x yerine v koyduk Bu yerine koyma, denklemi ayrılabilir bir hale getirdi ve sonra da, denklemi çözdük. ve en son olarak da v yerine tekrar y bölü x'i koyduk. Böylece, diferansiyel denklemin çözümünü bulduk. Kendiniz de kontrol edebilirsiniz: y eşittir x çarpı mutlak değer x'in doğal logaritması artı c. Düzeltiyorum, bir hata yaptım. y bölü x eşittir mutlak değer x'in doğal logaritması, artı c. İki tarafı x'le çarparsam, çözüm ne olur? Sadece, x çarpı mutlak değer x'in doğal logaritması olmaz. Bunu da x'le çarpmalıyım, öyle değil mi? Dağılma özelliği, evet çok amatörce bir hata yaptım. Yani, doğru çözüm, y eşittir x çarpı mutlak değer x'in doğal logaritması artı x çarpı c. c'yi bulmak isterseniz, başlangıç değeri vermem gerekir. Buna göre c'yi bulursunuz. O zaman tekil bir çözüm elde etmiş oluruz Bir sonraki videoda, bu konudan birkaç soru daha yapacağım. Görüşmek üzere.