If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

Birinci Dereceden Homojen Denklemler 2

Birinci mertebeden homojen diferansiyel denklemi yerine koyma ile çözmeye başka bir örnek. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Video açıklaması

Homojen diferansiyel denklem sorularından bir örnek daha yapalım. Birinci mertebeden birinci dereceden bir denklem olsun, böylece doğrusal homojen diferansiyel denklemlerle farkını vurgulamış oluruz. Evet, sorumuz şöyle. y'nin x'e göre türevi eşittir, x kare artı 3 y kare. Bölü 2 x y. Henüz denklemin homojen olup olmadığını bilmiyorum. Dolayısıyla, y bölü x cinsinden bir fonksiyon olarak yazmaya çalışmamız gerekiyor.Şimdi Payı ve paydayı x kareye bölersek, sanıyorum, bunu gerçekleştirebiliriz. 1 bölü x kare, veya x üzeri eksi 2, bölü 1 bölü x kare ile çarpalım. Aslında, sadece 1 ile çarpmış oluyoruz. Bu durumda ifademiz neye eşit oluyor? 1 artı 3 y kare bölü x kare bölü 2. x bölü x kare eşittir 1 bölü x. 2 çarpı y bölü x. Bu ifadeyi baştan yazabiliriz. 1 artı 3 y bölü x kare bölü 2 çarpı y bölü x. Yani, bu, homojen bir denklem, çünkü denklemi y bölü x cinsinden bir fonksiyon olarak yazabildik. Şimdi v'yi denkleme koyalım. Evet, umarım, bu yönteme alıştınız. Bir önceki videoda da aynı şeyi yaptık. v eşittir y bölü x diyoruz. Veya, y eşittir x v. İki tarafın x'e göre türevini alırsak çarpım kuralı, x'in türevi 1 çarpı v artı x çarpı v'nin x'e göre türevi. Şimdi, y'nin x'e göre türevinin yerine, bu ifadeyi koyabiliriz. Denklemin sağ tarafı da bu. y bölü x yerine v koyabiliriz. Böyle yapalım. v artı x d v d x yerine v üssü yazıyorum. v üzeri yazıyorum. Eşittir 1 artı 3 v kare y bölü x yerine v yazdık. Bunun tamamı bölü 2 v. Bakalım, şimdi ne yapabiliriz. Cebir bilgimizi kullanarak, ayrılabilir bir denklem haline getirmek için sadeleştirelim. Denklemin iki tarafını 2 v ile çarpalım. 2 v kare artı 2 x v, v üzeri eşittir 1 artı 3 v kare. Şimdi, iki taraftan 2 v kareyi çıkaralım. Bu tarafta 2 x v, v üzeri kalır eşittir 1 artı, iki taraftan 2 v kare çıkarıyoruz , sağda sağda sadece 1 artı v kare kalır, değil mi? Evet 3 v kare eksi 2 v kare eşittir v kare. Ayrılabilir olmasını istiyoruz, o zaman bütün v'leri sol tarafa alalım. 2 x v, v üzeri bölü 1 artı v kare eşittir 1. Şimdi iki tarafı x'e bölelim. Böylece x'i öteki tarafa atmış oluyoruz. 2 v. Şimdi diğer notasyona geçiyorum. v üssü yerine d v d x yazıyorum. 2 v çarpı v'nin x'e göre türevi bölü 1 artı v kare... dikkat ederseniz, iki tarafı x'e böldüğüm için, bu tarafa x yazmadım. bölü 1 bölü x. Ve iki tarafı d x'le çarparsak, iki değişkeni ayırmış oluruz. Böylece iki tarafın integralini alabiliriz. İki tarafı d x'le çarpıyoruz. Evet, 2 v bölü 1 artı v kare d v eşittir 1 bölü x d x. Şimdi iki tarafın integralini alalım. Bu denklem x ve v cinsinden ayrılabilir bir denklem. Peki bunun integrali nedir? İlk başta karmaşık, karışık olduğunu düşünebilirsiniz. Belki bir trigonometrik fonksiyon sanabilirsiniz. Aslında, sadece zincir kuralının tersi olduğunu göreceksiniz. Burada 1 artı v kare fonksiyonu var. Ve, türevi de şurada duruyor. Bunun terstürevi, isterseniz yerine koyma yöntemini de uygulayabilirsiniz. u eşittir 1 artı v kare dersiniz. d u eşittir 2 v, d v olur. Böylece, terstürevi, u'nun doğal logaritması olarak bulursunuz. Yani, bunun terstürevi 1 artı v karenin doğal logaritmasına eşittir. Mutlak değer yazmamıza gerek yok, çünkü bu hep pozitif olacak. 1 artı v karenin doğal logaritması. Evet umarım kafalar karışmamıştır. Çözerken şöyle düşünüyorum. Bir ifade ve o ifadenin türevini çarpım halinde gördüğüm zaman, ifadenin tamamının terstürevini alabileceğimi biliyorum. İfadenin içeriği fark etmez. 1 bölü x veya 1 bölü u, doğal logaritmayı işaret eder. Terstürevi bu şekilde buldum. Eğer inanmıyorsanız, zincir kuralıyla bunun türevini alın. Şunu elde edeceksiniz. Umarım, bunun mantığını daha iyi anlamışsınızdır. Neyse, sol taraf böyle, bu eşittir sağ taraf kolay. Bu taraf, mutlak değer x'in doğal logaritması. Artı c diyebiliriz. Ama, sadeleştirme açısından, artı mutlak değer c'nin doğal logaritması yazarsam daha iyi olur. Bu, hala, bir sabit. Bu denklemi tekrardan şöyle yazabiliriz: 1 artı v karenin doğal logaritması eşittir doğal logaritmaların toplamı, çarpımın logaritmasıdır ufak bir hatırlatma. Mutlak değer c x'in doğal logaritması. Yani, bunun doğal logaritması, şunun doğal logaritmasına eşit. Amma çok doğal logaritma dedim zor zaten söylemesi de zor. Buna göre, 1 artı v kare eşittir mutlak değer c x. Şimdi v yerine y bölü x'i geri koyalım. 1 artı y bölü x kare eşittir mutlak değer c x. İki tarafı x kareyle çarpalım. Bunu y kare bölü x kare olarak yazabilirdik. İki tarafı x kareyle çarparız. x kare artı y kare eşittir mutlak değer c x küp ve çözümümüz bitti. Tüm değişkenleri sol tarafta toplamak istersek, şöyle diyebiliriz: x kare artı y kare eksi mutlak değer c x küp eşittir 0. Bu kapalı fonksiyon veya eğri, birinci mertebeden homojen diferansiyel denklemimizin çözümüdür. İşte böyle. Bir sonraki videoda görüşürüz. Yüksek mertebeden diferansiyel denklemlere başlayacağız. Bunlar, şimdiye kadar yaptığımız homojen ve tam diferansiyel denklemlerden daha faydalı. O yüzden bir sonraki videoda görüşelim.