Örnek: Ayrılabilir Diferansiyel Denklemler (Eski Video)

Bence ayrılabilir diferansiyel denklemlerden bir örnek daha yapmak uygun olur. Evet, hadi yapalım. y nin x e göre türevi eşittir y kosinüs x bölü 1 artı y kare. Ve başlangıç koşulu olarak da y nin 0 için değeri eşittir 1.Ya da x eşittir 0 ise y eşittir 1. Biliyorum şimdiye kadar birkaç örnek yaptık ama ayrılabilir diferansiyel denklemler hakkında düşünmenin bir diğer yolu tersten kapalı türev almak. Ya da bu konuyu ifadenin bir başka yolu ne zaman kapalı türev alırsak sonuç bir ayrılabilir diferansiyel denklem olur. Ümit ediyorum ki bu biraz bağlantı sağlamıştır. Neyse haydi yapalım. Önce y leri x lerden ayırmamız lazım. Her iki tarafı da 1 artı 2y kare ile çarpalım. 1 artı 2y kare çarpı dydx eşittir y çarpı kosinüs x. Daha y leri ve x leri tam olarak ayıramadık. Her iki tarafı da y' ye bölelim ve bakalım. 1 bölü y artı 2 y kare bölü y Bu 2y çarpı dydx eşittir kosinüs x. Her iki tarafı da dx ile çarparım. 1 bölü y artı 2y çarpı dy eşittir kosinüs x dx Şimdi de her iki tarafın da entegralini alabiliriz. 1 bölü y' nin y' ye göre entegrali nedir? Biliyorum ilk cevabınız y'nin logarıtması olacak ki doğru ama bundan daha geniş bir fonksison var ki onun türevi de 1 bölü y dir. Bu fonksiyon y nin mutlak değerinin tabii logaritmasıdır. Bu sadece biraz daha geniş bir fonksiyondur çünkü alanı pozitif ve negatif sayıları kapsar sadece 0 yoktur. y nin tabii logaritması sadece 0 dan büyük sayıları kapsar. y nin mutlak değerinin tabii logaritması güzeldir ve sıfır hariç tüm noktalarda türevi 1 bölü y dir. Sadece biraz daha geniş bir fonksiyon. Bu 1 bölü y nin entegralidir ve biz bunu ispat ettik. ya da en azından y' nin tabii logaritmasının türevinin 1 bölü y olduğunu ispat ettik. Artı ,2y nin y ye göre integrali nedir? y kare eşittir artı c yi bu tarafa koyacağım. Kosinüs x neyin türevidir? Sinüs x in. Ve artı c yazabiliriz. Artı c yi şuraya ekleyebiliriz. Ve başlangıç koşulumuz neydi? y nin 0 için değeri 1dir. y nin 0 için değeri 1dir. x 0'a eşit olunca y eşittir 1. 1 artı 1 karenin mutlak değerinin tabii logaritması (ln) eşittir sinüs 0 artı c. 1 in tabii logaritması e nin hangi kuvveti 1 dir? 0 artı1 sinüs 0 eşittir 0 eşittir c. Böylece c eşittir 1. Böylece bu diferansiyel denklemin çözümü, yazmam bile gerekmiyor c eşittir 1 bulduk. O yüzden bunu karalayıp sadece 1 koyabiliriz. y artı y karenin mutlak değerinin tabii logaritması eşittir sinüs x artı 1. Ve bunun grafiğini çizmek istesek görürüz ki y aşağı doğru gitmiyor ve x eksenine yanaşmıyor. O yüzden ordaki mutlak değer fonksiyonunu yok edebiliriz. Neyse bu biraz teknik oluyor. Bu diferansiyel denklemin cevabının kapalı şekli oluyor. Bu da mantıklı.Çünkü ayrılabilir diferansiyel denklemler aslında tersden kapalı türevlerdir. Genel olarak diferansiyel denklemlerin eğlenceli bir yanı değişik tipte denklemleri çözmek için bir sürü yöntem olmasıdır. Bütün diferansiyel denklemleri çözecek tek bir yöntem ya da tek bir teorı yoktur. Birkaç tane yöntem vardır ki bir diferansiyel denklem sınıfını çözer ama tüm denklemleri çözecek tek bir yöntem yoktur. Hatta bugün bile hala çözülmemiş olan diferansiyel denklemler vardır ki bunları çözmek için bilgisayarı sayı olarak kullanmak gerekir. Ve bir gün bunlar hakkında da bir video yapacağım. Aslında buna birçok uygulamada rastlayacaksınız, çünkü fen bilimlerinde ve herhangi bir bilim dalında ekonomi ya da fizik ya da mühendislik olsun rastlayacağınız denklemler genelde çözümsüz olacaktır. Çünkü içinde ikinci ya da üçüncü dereceden türev bulunacaktır ve çarpılacaklar. Demek istediğim çok karmaşık olucaklar,analitik yoldan zor çözülecekler. Bu nedenle sayısal yoldan çözüceksiniz ki bu çoğu zaman çok daha kolay olacak. Her neyse ümit ederim ki bu noktada ayrılabilir denklemler hakkında bayağı bir fikriniz olmuştur. Sadece kapalı türevin tersten çözümü olup yeni bir şey değildir. Bundan sonraki konu tam diferansiyel denklemler olacak ve birçok başka method öğreneceğiz. Ve ümit ediyorum ki listenin sonuna gelince elinizde hiç olmazsa çözülebilir diferansiyel denklemleri çözecek yöntemler olacaktır. Bir sonraki videomuz da görüşmek üzere.