Evrişim (Konvolüsyon) Teoremi İle İlk Değer Probleminin Çözümü

bu evrişim integrali ve lapras dönüşümü arasındaki bağlantıyı da bildiğimize göre isterseniz diferansiyel bir denklem çözmeyi deneyelim elimizde bir denklem bir ilk değer problemi var Hemen yazıyorum yeğenin ikinci türevi artı iki çarpı yeğenin bir türevi artı 2 ye eşittir sinüs Alfa çarpı te verdikleri ilk ya da başlangıç değerleri de ye sıfırın Sıfıra eşit olduğu ve hiye üssü 0'ın da Sıfıra eşit olduğunu bu değerlerin soruyor bir nevi kolaylaştıracağını daha düşünebiliriz Hadi bakalım ne yapacağım ilk şey eşitliğini iki tarafında lapras dönüşümünü almak ye üssünün ablas dönüşümünün neye eşit olduğunu artık ezbere biliyorsunuzdur diye düşünüyorum Evet yeğenin ikinci türevinin ablas dönüşümü eskare çarpı yeğenin abla bu düğümü bunu büyük yese olarak yazacağım eksi eşsiz aldığımız kaçıncı türev Sen esinde aynı kuvvetinden başlıyoruz ve her defasında bu kuvveti bir azaltıyoruz Öyle değil mi Es çarpı y0 her ne kadar bu bunun integrali olmasa da bunun integral olduğunu düşünürsek Bunun da bir türev olduğunu söyleyebiliriz eksi Esin kuvveti bir daha azaltılırsa bir elde ederiz çarpı ye üssü 0 Bu ikinci türevin Atlas dönüşümü sırada iki çarpı bir türevin Atlas dönüşümü var artı iki çarpı Es çarpı yees yani Es çarpı yeğenin ablas dönüşümü eksiye sıfır sadece bir tane daha kaldı iki yeğenin Atlas dönüşümü iki çarpı Bu da yeğenin ablası dönüşümüne eşittir Bunlar sinüs Alfa çarpı trenin abla bu tümüne eşitmiş sinüs Alpha çarpı teninle Plus dönüşümünün d-alpha bölü eskare artı al fanın karesini eşit olduğunu biliyoruz şimdi yeğenin lapras dönüşümlerini bir araya toparlayabiliriz diye mi ya da bundan önce isterseniz bize verdikleri ilk değerleri değerlerine koyalım diğer sıfır ve y300 A eşitse bu bu ve bu Terim sıfıra eşittir baştan yazalım renklerinde kullanmayı eskare Yes artı 2es çarpı yese artı iki çarpı ye eşittir Alfa bölüğe skarı artı al fanın karesi Şimdi de bunu Yes yani yeni naplast dönüşümü parantezine alalım eskare artı iki e s artı iki çarpı y e Bu sistemin eşittir Alfa bölümü eskare artı al fanın karesi eşitliğin iki tarafını Bir de buna bölelim ve böylece yees eşittir Alfa bölü eskare artı al fanın karesi çarpı bir bölü eskare artı iki esartı iki onu buraya kesir olarak da yazabilirdim ama Bu yazdığımda sizi aynı sonuca ulaştıracak Peki şimdi ne yapabiliriz videonun başında size evrişim den bahsettiğim e göre burada bildiğimi kilab las dönüşümünün çarpımı olarak ifade edilmiş bir lapras dönüşümü aramam lazım bunun ters Atlas dönüşümün ne olduğunu biliyorum az önce aldık Sims Alfa çarpı te Öyle değil mi ve Eğer bunun ters l'atlas dönüşümünün eşit olduğunu bulabilirsem fonksiyonu tam olarak neye eşit olduğunu bulamazsam da bir evrişim integrali olarak ve sade edebilirim çözümü yapamazsam da en azından kalkülüs ile yapılabilecek Yani eğer ben çözemezsen bile bir Bilgisayarım çözebileceği bir integral haline getirebilirim aslına bakarsanız bilgisayarlar bunu da çözebilirler ama konumuz bu değil Öyle değil mi Evet gelin bunu bir evrişim integrali olarak ifade etmeye çalışalım bu sorun çıkaracak yani Bununla ilgili bir şey yapmam lazım Öyle değil mi Bu bir tam kare değil ve tam kare değilse Bunu tam kareye tamamlamayı deneyebilirim O halde bunu eskare artı iki e s artı bir boşluk artı iki olarak yazayım onu Eğer eskare artı iki artı bir olarak yazarsam Burası Es artı 1'in tam karesine eşit olur Fakat buraya bir eklediğimde ifadenin değerinin değişmemesi için bir de bir çıkarmam lazım Ne de olsa bir ifade istediğim gibi eklemeler ve çıkarmalar yapamam o bu Meğer bir eklediği sen bunu nötrleşmesi için bir de bir çıkarmam gerekiyor Bu arada bu ifadeyi değiştirmediğini ve bu şekilde yeniden yazdığımı da hemen söylemek istiyorum Her neyse artık bunu Es artı birin karesi olarak yazabilirim güzel buradan gelecek artı bir de unutmayalım Evet artı bir buradan yani iki eksi birden gelecek bunu yapınca yees inalfa bölü eskare artı al fanın karesi çarpı bir bölü Es artı birin karesi artı biri eşit olduğunu buluruz bunun ters Atlas dönüşümünü bildiğimizi söylemiştim o halde geriye bunun ters Laplace dönüşümünü bulmak kaldı Evet bunun ters Atlas dönüşümünün neye eşit olduğunu bulmam gerekiyor güzel bir renk seçin Eğer bunun ablası dönüşümünün neye eşit olduğunu bulursam bunu bir evrişim integrali olarak ifade edebilirim Peki bunu nasıl evet hadi gelin birlikte düşünelim yetenin hemen yazıyor yeten Evet yesenin Pers naplast dönüşümüne eşittir ve bu da bunların ters lambdas dönüşümlerinin çarpımına eşittir Öyle değil mi ne yazıyorum Alfa bölümü eskare artı alfanın karesinin ters lapras dönüşümü çarpı bir bölü Es artı birin karesi artı birin ters Lab las dönüşüm evrişim teoremine göre bu çarpımda ki ilk Terim'in tersn Atlas dönüşümünün yani Alfa bölü eskare artı al fanın karesinin ters Laplace dönüşümü ile araya evrişim simgesini koyayım bu terimin ters Laplace dönüşümü yazıyorum bir bölü Es artı birin karesi artı birin ters ablas dönüşüm elimizde İkile ablas dönüşümün çarpımı varsa bunu Sen niye eşit olduklarını Eğer bağımsız olarak bulabiliyor ve tersleri de alabiliyor Sam çarpımlarının ters Laplace dönüşümü de ters tablas dönüşümlerinin erişimine eşit olur Bu arada bu söylediğim hem bile kafamı karıştırdı Onun için daha fazla üzerinde durup Sizinde kafanızı karıştırmak istemiyorum ama ne demek istediğimi anladığınızı düşünüyorum değilim elimde iki tane ifade var birbirinden bağımsız olarak neye şahit olduklarını biliyorum ikisinin yine bağımsız olarak derslerini alabiliyor mu halde çarpımlarının tersn Atlas dönüşümü ters lapras dönüşümlerinin evrimine eşittir şimdi bu neydi videonun başında bunun sinüs al fakülteye eşit olduğunu söylemiştim bu ve bu ifadenin ters tablas dönüşümünü nevresimini alacağım Bir miktar hesaplama yapmamız lazım ve bunu yaparken hata yapmadığımız dan da emin olmamız Sen üstenin Atlas dönüşümü bir bölü eskare artı bir eşittir bu bunu bu Ama bunun bir birim ötelenmiş olduğunu görüyorum ötelenme dediğim anda da Ee üzeri atesin üstenin lapras dönüşümün ya da şöyle değil bir fonksiyonu e üzeri a t ile çarpıp uplas dönüşümünü alırsanız fonksiyonuna Plas dönüşümünü ötelenmiş olduğunuzu hatırlıyorsunuz değil mi Evet bununla pas dönüşümü bir bölüğe seksi an tanesi artı bire eşittir ve buna bakınca da bunun Abim ötelenmiş olduğunu anlayabiliriz a Eğer -1 olursa hemen yazıyorum anın -1 olduğunu düşünelim bu durumda buna çok benzeyen bir şey elde ederiz Kısacası bunu ne seksi bir olduğunu ve bunun ters Laplace dönüşümünün vee üzeri a yani -1 çarpı çarpı sinüste ye eşit olduğunu Evet Bunu söylemeye çalışıyorum Çok da güzel bir ifade olmasada elimizdeki difere bu denklemin çözümü budur istersek bunu bir integral olarak da ifade edebiliriz Bu arada in Tekrar yazacağım ama zor ve karmaşık bir integral olacağı için çözümünü yapmayacağım yine de çözümü bir integral olarak ifade ettikten sonra her şey integral kalkülüsü ne dönüştürme bunu da bir bilgisayara çözebiliriz belki bunların ev işi mi neye eşittir sıfır dante'ye bir fonksiyonun sinüsünü alacağız ya da şöyle diyeyim bunu daha önce söylemedim ama bunların sırasını değiştirebiliriz sinüs sinüste eksi tavuk çarpı Alfa tüm bunun serisinden bahsediyorum çarpı e üzeri eksi tavuğu sinüs tavuğu de tavuk bu diferansiyel denklemin çözümünü bir integral olarak Yazmak istersen bunu bu şekilde yapabilirim Bu arada bunu neden iki şekilde yapabileceğimizi de anladığınızı düşünüyorum burada bir çarpım vardı ve çarpımlar da sınav şey yoktur öyle değil mi Demek istediğim birinci Terim ya da bu olabilir hangisi yazılmış olursa olsun aynı şeyi yapabiliriz Önümüzdeki videolarda bunun ispatını da yapacağım ama isterseniz Diğer şekilde de yazalım şimdilik bunu e üzeri eksi te sinüste ve sinüs Alfa teni nevresimi olarak da yazabilir dikme böyle yazınca da integralde sıfırdan t y e üzeri eksi te exit housein üste eksi tavuğu çarpı sinüs al fatau de tavaya dönüşürdü bunlara eşdeğer ifadelerdir ve eğer bir sınavdayız sanız bunların ikisi de kabul edilebilir cevaplar olurdu Bu arada sınavlarda sizden bu integraller hesaplama nızı Tabii ki de istemeyecekler Öğretmeniniz evrimin ne olduğunu bilip bilmediğinizi ya da diferansiyel denklem çözümünü bu şekle getirip getiremeyeceğini zia bu için çözümü bir integral olarak yazın diyebilir Bu noktadan sonra da bunu artık basit kalkülüs diyemeyiz diferansiyel olmayan denklemler diyebiliriz Umarım ters dönüşüm içeren bu evrişim örneği ile konuyu biraz daha iyi anlamışsınızdır o