Laplace Dönüşümü ile Homojen Olmayan Denklemlerin Çözümü

ve diferansiyel denklemlerle ilgili bu videoları yapalı neredeyse bir yıl olmuş aradan bu kadar zaman geçtiğine göre gelin devam edelim ve listeye birkaç bir Yo daha ekleyelim bundan önceki videoda size homojen olmayan bir diferansiyel denklemin lapras dönüşümüyle çözümünü göstereceğim söylemiştim araya bu kadar zaman girdiği için küçük bir örnekte başlayalım istiyorum Bu arada siz Eğer bu videoları arka arkaya izliyorsanız Aslında neyden bahsettiğini çok daha iyi biliyorsunuz Belki yeğenin ikinci türevi artı ye eşittir sinüs 2t ile başlayalım bazı başlangıç değerleri de olacak y0 eşittir 2 veye üstü sıfır eşittir bit bundan önceki videoyu Kısa bir süre önce ya da hemen bundan önce izlediyseniz Şimdi ne yapacağımı çok iyi biliyorsunuzdur Evet denklemi çözmek için eşitliğin iki tarafında lapras dönüşümünü alacağız buradan fonksiyonun Abbas dönüşümünün neye eşit oldu bu ters Atlas dönüşümü alarak fonksiyonu ney eşit olduğunu bulacağız Bu söylediklerim herhangi bir anlam ifade etmiyorsa biraz sabredin ne demek istediğimi Az sonra anlayacaksınız bundan önceki ya da ondan önceki videoda size yeğenin ikinci türevinin ablas dönüşümünün Evet bunun eskare çarpı yeğenin roblox dönüşümü Evet eksi Esin derecesine azaltacağız Es çarpı y0 bunun türev almaya benzediğini düşünebilirsiniz Aslında integral Yani bu tam olarak bunun ters süre mi değil Laplace dönüşümü bir integralde diye 0da bu durumda bundan bir Türe uzakta gibi bir şey oluyor eksiye üssü 0 bunu istersek yeğenin ablas dönüşümünü kullanmadan eskare çarpı büyük yees Evet kafanızda soru işaretleri oluştuysa bu Esin bir fonksiyon olacak yeğenin değil de ondan devam ediyorum Evet o eski çarpı y0 eksiye üssü 0 Bunlar sayı Öyle değil mi yani fonksiyon değil fonksiyonun ya da fonksiyonun türevi nin 0da aldığı değerler den bahsediyoruz Ayrıca bunların neye eşit olduklarını da biliyoruz y0 Evet bu iki veye üstü 0da 1'e eşit şimdi bu ifadeye geri dönecek olursa eşitliğini ki tarafının ablas dönüşümünü almak için işe bununla Plus dönüşümü ile başlamamız lazım ve bunu burada yaptık yeğenin ikinci türevinin Abbas dönüşümü eskare çarpı fonksiyonun ablas dönüşümü bunu da büyük yees olarak yazıyorum eksiye sıfırın iki eşit olduğunu bildiğimiz için 2es yazıyorum y30 da bir olduğuna göre bu da -1 sonra yeğenin Atlas dönüşümü var Onu da yine büyük Yes olarak yazıyorum isterseniz buraya da yazayım ki ne Ya sen geldiğini aklımızda tutmak daha kolay olsun eşittir sinüs iki Tenin Abbas dönüşüm önceki yıl yaptığım bir videoda size sinüs aten enough las dönüşümün ne olduğunu göstermiştim hatırlamanız için hemen burayada yazıyorum Seni mi zaten İnna Plus dönüşümü A bölümü eskare artığa kareye eşitti A bölümü eskare Artı akare bu durumda sinüs iki Tenin Abbas dönüşümü de A2 olduğuna göre 2 bölü eskare artı ikinin karesi yani dörde eşit olur eşitliğini ki tarafının ablası dönüşümünü aldığımızda sağ tarafta da 2 bölü eskare artı 4 olacak şimdiye eski terimleri ayıralım Öyle değil mi bunları grupla Yalım eskare artı bir çarpı yeğenin ablas dönüşümü yani yees şimdi de ye eski olmayan terimleri var ya da -2 -1 eşittir 2 bölü eskare artı 42 tarafa iki esartı Brad diyelim bunu yapınca burada eskare artı bir çarpı ye eşittir 2 bölü eski karı artı 4 artı iki e s artı bir elde ederiz iki tarafı birde eskare artı bire bölersek yeğenin Atlas dönüşümünü yalnız bırakmış olacağız Evet yeğenin ablas dönüşümü eşittir 2 bölü eskare artı 4 iki tarafı bulabileceğimiz için bunu paydaya alabilirim çarpı eskare artı bir ve artı 2es ve artıp bir bunları da eskare artı bire bölmem lazım 2es bölü eskare artı bir weh bir bölü eskare artı bir bunların ters Laplace dönüşümleri alabilme bu kesirli ifadelerin basit olmaları gerekiyor Bunlar kolay ama buradaki bizi biraz Zorlayacak gibi görünüyor Bunu daha basit İki kesrin toplamı olarak ifade edebilmek için kısmi kesil açılımı yapmamız lazım evet yan tarafta yapalım bunu ayrıca bunun yani bu hesaplamaların Bu soruların en zor kısımları olduğunu da bilmelisiniz yani uğraştırıcı ne demiştim Bunu daha basit İki kesrin toplamı olarak ifade etmem lazım ve bunu yapmak için de e 2 bölü eskare artı dört çarpı eskare artık bir iki kesrin toplamı olarak yazacak Sak bunu birinin paydası eskare artı 4 ve diğerinin ki de eskare artı bir olacak paydaların derecesi 2 olduğuna göre payların derecesinde bir olması gerekecek Öyle değil mi Demek istediğim bu aes artı B Bu da bu Ese artı de formunda olacak işte bu kısmı sadece bir kısmı kesin açılımı yapıyoruz bununla ilgili başka videolarda hazırlamıştım isterseniz onları da izleyebilirsiniz şimdi bu yaptığımız şey bu kesri iki farklı kesrin toplamı olarak ifade etmeye çalışmak Ve bunu yaparken de a b c ve d nin neye eşit olduklarını bulmamız lazım Bir bakalım bunların ikisini birbiriyle toplayacak olsam ne olurdu Öncelikle paydalarını eşitlemek için bunu bununla bunu da bununla çarpma gerekirdi Öyle değil mi paydayı yazıyor eskare artı dört çarpı eskare artı bira esartı beyi Evet bunu eskare artı bir ile çarpma mı lazım bu şekilde bakarsanız Bunlar birbirini götürünce geriye bunun kalacağını görebilirsiniz bunu bir DC esartı de çarpı a kare artı 4 bölü eskare artı 4 x kare artı bir de toplamamız lazım şimdi de a b c ve d nin neye eşit olduklarını bulmak için bu parantezleri açalım aaes çarpı eskare Evet bu ae-s üzeri3 eşittir aes çarpı bira esebe çarpı eskare bees kareye vb çarpı bir dedeye cees çarpı eskare Evet bu C çarpı Es üzeri 3 Ece Es çarpı 4 4 C e s Şu an ne düşündüğünüzü Biliyorum evet gerçekten de yorucu ama Dayanın çok az kaldı Celle terimleri çarptık sırada değeri terimler var değil mi de çarpı eskare de eskare ve de çarpı dört ise 4D şimdi bunları birbiriyle top O da krenk değiştireyim Ama artı c çarpı Ese üzeri3 artık Es kaliteli mi yazıyorum şimdi de be artı de çarpı eskare sırada seyrederim var artı artı 4 C Sharp ı s ve Nihayet be artı 4D Evet paydaki terimleri birbiriyle toplayıp grupla yayınca bunu elde ediyoruz Çok uzun oldu ve bu sadece pay payda daysa eskare artı dört çarpı eskare artı 1 var kesir çizgisinin de çizim bu buna eşit olacak 2 bölü eskare artı dört çarpı eskare artık bir Tüm bunları neden yaptığını merak ediyorsunuz değil mi bunları a b c ve d nin neye eşit olduklarını bulabilmek için yaptım Es üzeri üçlü terimi diş sayısı artık C burada Es üzeri üçlü biterim var mı Yok o halde hemen yazayım ağartıcı Sıfıra eşit olmalı bunun sebebinin burada Es üzeri üçlü bir terim olmadığının bir kere daha altını çizmek istiyorum eskali Terim'in katsayısı ise be artı de burada Es kareli bir terim olmadığına göre be artı de eninde Sıfıra eşit olması gerekir ev esti Terim'in katsayısı artı 4C ama burada esli bir terim de olmadığına göre a artı 4 CD Sıfıra eşit olacak Çok olarak sabitlerim yani be artı 4 de buradaki sabit Terim iki olduğu için bu ikiye eşit olacak bunlar çözümü oldukça kolay doğrusal denklemler ve çözmek için de bunu bundan çıkaracağım Ağa eksi A evet sıfır eder c ve eksi 4C -3 C eşittir sıfır O halde c0da eşitmiş c0 ağartıcı hd0 sağa da sıfırdır Öyle değil mi Belki burayı çözmek için de bundan bunu çıkaracağım beeks ib0 eder de -4 deden de -3 de elde ederiz ve bu eksi ikiye eşit O halde de neymiş 2/3 Evet -2 böyle eksi 3'ten 2/3 elde ettik be artı de sıfıra eşittir Bu durumda beğenin de eksi de ye eşit olması gerekir yani eksi 2/3 Şimdi de bunları yerine yerleştirmeniz lazım Bu arada Tüm bunları 2 bölü eskare artı dört çarpı x kare artı biri iki kesrin toplamı olarak ifade edebilmek için yapıyor ve sonuç olarak 10 the B ise eksi 2/3 o halde yazıyorum meksi 2/3 eskare artı 4 artı c sıfırdı de ise 2/3 2/3 bölü eskare artı bir de bunları bu kesri iki kesrin toplamı olarak ifade edebilmek için yaptık ve burada iki ayrı kesir daha var şimdi Sonuç olarak elde ettiğimiz ifadeyi temize çekeceğim Umarım hata yapmam yeğenin Atlas dönüşümü eşittir videonun başında da söylediğim gibi cebirin işin en zor kısmı olduğunu görüyorsunuz değil mi mi eşittir Bu iki kesrin toplam olarak yazdığım bu Terim yazıyorum eksi 1 bölü 3 çarpı Bu arada bunu neden böyle yazdığımı da az sonra daha iyi anlayacağız Evet eksi 1 bölü çarpıp 2 bölü eskare artı 4 ve artı 2 bölü 3 O dıb bir bölü eskare artı bir bunları neden böyle yazdığımı merak ettiğinizi biliyorum ifadeleri inceleyecek olursanız bunun sinüs iki Tenin burunda sinüste nin Laplace dönüşümü olduğunu hemen farkedebilirsiniz ve İşte bu yüzden de yani paydaların da dört ve bir olduğu için Paya Burada iki Burada da bir yazdım bu birinci Terim de iki Terim daha var demiştim 2es bölü eskare artı bir artı iki çarpı Es bölü eskare artı bir artı sonuncusu artı bir bölü Es karartıp bir şimdi eğer bunun ters Laplace dönüşümünü alabilirsek yeğenin neye eşit olduğunu bulabiliriz ters tablas dönüşümü alacağız ve yaptıklarımın çok da zor şeyler olmadığını anlamanız için buraya da not edeyim sinüs aten inlab las dönüşümü Evet bu A bölüm a kare artı a kareye eşit Öyle değil mi ve kosinüs aten inlab las dönüşümü ise Es bölü eskare artığa kare eşittir bunların ters tablas dönüşümlerini alırken bunlara ihtiyacımız olacak şimdi eşitliğini ki tarafının ters Laplace dönüşümünü alalım yeğenin ablas dönüşümünün ters Laplace dönüşümü yeğenin ta kendisidir yeyi Tenin bir fonksiyonu olarak yazıyor eşittir Bu sinüs ikitellinin Atlas dönüşümüdür nasıl anın iki olduğunu düşünürsek bu iki bölü a kare artı 4 eşit olur hemen yazıyorum eksi 1 bölü 3 çarpı sinüs 2t benzer şekilde a bir ise bu da sen üstenin Atlas dönüşümüdür yani 2 bölü 3 çarpı sinüste Evet 2 bölü 3 çarpı ama sıradakini mavi ile yazacağım Artık bunun da kosinüs teyzenin ablası dönüşümü olduğunu görüyorsunuz değil mi anın bir olduğunu düşünün bu durumda kosünüs Tenin Atlas dönüşümü Es bölüğe skarra artı 1'e eşit olur Evet iki çarpık O sinüste son olarak bu da aynen Buradaki gibi sinüsten İnna blas dönüşümüdür O halde artı sinüste çok az kaldı aslına bakarsanız işimiz bitti Ama bu ifade biraz daha basit bir şekilde ifade edebileceğimizi düşünüyorum Burada 2/3 sinüste burada da bir bölü sinüste var 2/3 de biri ya da 3/3 toplarsam 5/3 elde ederim yt eşittir eksi 1 bölü 3 sinüs 2t artı bunları topladık 5/3 sinüste ve artı iki ho sinüste uzun bir soruyla öyle değil ve yine de yaptığımız en zor şey Evet kısmı kesir açılı mıydı Tabii bir da hata yapmamaya çalışmak Sonuç olarak çok da karmaşık olmayan ve bu homojen diferansiyel denklemi sağlayan bir çözüm buldum Her Neyse umarım Siz de faydalı bir video olduğunu düşünüyorsunuz Dur bir yıllık diferansiyel denklem aramızı da bu şekilde sonlandırmış olduk bu