Laplace Dönüşümü 1

Şimdi Laplace dönüşümü kavramına başlangıç yapıyoruz. Bu, sadece diferansiyel denklemlerde değil, tüm matematikte öğreneceğiniz en faydalı kavramlardan biridir. Özellikle mühendis olacaksanız, Laplace dönüşümü, diferansiyel denklemler çözmenin yanısıra, fonksiyon veya dalga formlarını zaman tanım kümesinden frekans tanım kümesine dönüştürmeyi sağlar. Bu şekilde bir sürü değişik fenomeni anlayabilirsiniz. Ama henüz daha konuya girmeyeceğim. Sadece, Laplace dönüşümünün ne olduğunu size öğreteceğim. Size ne olduğunu öğreteceğim, matematiğine alışmanızı sağlayacağım ve birkaç video sonra, diferansiyel denklem çözümünde ne kadar faydalı olduğunu göstereceğim. Daha önceden başka yöntemlerle çözdüğümüz diferansiyel denklemleri, bu dönüşümle tekrar çözeceğiz ve, daha zor sorular çözerek devam edeceğiz. Peki o zaman Laplace dönüşümü nedir? Laplace dönüşümünün notasyonu, şöyle süslü bir L'dir. Laplace dönüşümünde, kural, f x yerine f t demek, f t demek. Bunun nedeni ise, diferansiyel denklemlerde ve mühendislikte sıklıkla zaman fonksiyonundan frekans fonksiyonuna dönüşüm yapılması. Şimdi buna takılmayalım. Kafamızı karıştırabilir. t cinsinden fonksiyonun Laplace dönüşümü bu fonksiyonu s cinsinden bir fonksiyona çevirir. Peki bunu nasıl yapar? Şimdi, size çok anlamlı gelmeyecek bazı matematiksel ifadeler yazacağım. Neyi dönüştürüyor? Ben bunu fonksiyonların fonksiyonu olarak düşünüyorum. Bir fonksiyon, bir sayı kümesini başka bir sayı kümesine taşır. Bir dönüşüm ise, bir fonksiyon kümesini başka bir fonksiyon kümesine taşır. Şimdi bunu tanımlayayım. Laplace dönüşümünde, has olmayan bir integral alıyoruz. Has olmayan integralleri anlatmamıştım, ama az sonra bunları açıklayacağım. 0'dan sonsuza, e üzeri eksi s t çarpı f t yani dönüşümünü aldığımız fonksiyon d t'nin integrali. Bu size ürkütücü, korkutucu ve kafa karıştırıcı gelebilir ama, şimdi birkaç örnek yapacağım. Laplace dönüşümünü bulalım. f t için, f t için 1, diyelim. 1'in Laplace dönüşümü nedir? Eğer f t 1'e eşit ise - zamana göre sabit bir fonksiyon- , aynen burada yazdığım gibi yerine koyayım. 0'dan sonsuza, e üzeri eksi s t çarpı 1'in has olmayan integrali. Buraya yazmadım, ama 1 d t, 1 d t çarpanı var. Sonsuz ifadesinin sizi rahatsız ettiğinin farkındayım, ama birazdan bununla ilgileneceğiz. Şimdi ilgilenelim. Bu, limitle aynı şey. Şöyle diyelim: A sonsuza giderken, 0'dan A'ya e üzeri eksi s t d t'nin integrali. Bu ikisinin aynı şey olduğunu tahmin etmişsinizdir, ama bu şekilde daha rahat anlamışsınızdır, diye düşünüyorum. Sonsuzun değerini bulamayacağımız aşikar, ama bir şey sonsuza giderken limit bulabiliriz. Evet neyse, ters türev alalım ve has olmayan bu integralin değerini bulalım. e üzeri eksi s t'nin t'ye göre ters türevi nedir? Eksi 1 bölü s e üzeri eksi s t, öyle değil mi? Eğer inanmıyorsanız, bunun türevini alın. Eksi s çarpı bu, dersiniz. Bunlar sadeleşir ve e üzeri eksi s t kalır. Tamam. A sonsuza giderken, bunun limitini alacağım. Her zaman böyle yapmanız gerekmez, ama has olmayan bir integrali ilk defa çözüyoruz. Limit aldığımızı hatırlatmak istedim. Ters türev aldık. Şimdi A'daki değerinden 0'daki değerini çıkarmam gerekecek. Sonra da, ortaya çıkan ifadenin, A sonsuza giderken, limitini alacağım. A sonsuza giderken, limit. Peki. Buraya A koyarsak, eksi 1 bölü s - t yerine koyacağımızı unutmayın, integrali t cinsinden aldık - eksi 1 bölü s e üzeri eksi s A, öyle değil mi? A koyunca böyle olacak. Eksi buraya 0 koyunca ne olur? t 0 olunca, e üzeri eksi s çarpı 0 olur. Burası 1'e dönüşür. Sadece eksi 1 bölü s kalır. Peki yani, bu, A sonsuza giderken, eksi 1 bölü s e üzeri eksi s A eksi eksi 1 bölü s'nin limiti. Artı 1 bölü s yani. A sonsuza giderken bu limit nedir? Bu terime ne olur? A sonsuza giderken, s 0'dan büyük ise şimdi bunu varsayalım. Yazarak ifade edelim. s büyüktür 0 diyelim. s 0'dan büyükse, A sonsuza giderken ne olur? Bu terim 0'a yaklaşır, öyle değil mi? e üzeri eksi çok büyük bir sayının sonucu çok çok küçük bir sayıdır. Yani, e üzeri eksi sonsuz 0'a yaklaşır, bu yüzden bu terim 0'a yaklaşır. İçinde A olmadığı için bu terim etkilenmez, ve sonuç 1 bölü s olur. Hayatımızın önemli bir anı. İlk Laplace dönüşümünüzü gerçekleştirdiniz. Birkaç video sonra size Laplace dönüşümü tabloları göstereceğim, ve bunların hepsini ispatlayacağız ama, şimdilik, daha temel dönüşümleri yapacağız. Laplace dönüşüm tablosunda bu, ilk kaydımız, ilk videomuz olabilir. f t eşittir 1'in Laplace dönüşümü 1 bölü s'dir. Dikkat ederseniz, t cinsinden bir fonksiyondan, s cinsinden bir fonksiyona ulaştık. Başka bir Laplace dönüşümü örneği için yeterli zamanım kaldığını düşünmüyorum o yüzden bunu bir sonraki videoda yapalım. Hoşça kalın.