Laplace Dönüşümü 2

Laplace dönüşümleri yapmaya devam edelim. Böylece Laplace dönüşümü tablolarındaki ifadelerin nereden geldiğini görmüş oluruz ve konunun matematiğine de alışırız. Bu aslında Analiz'in ikinci dönem konusu, ama konuya alışmak adına yapıyoruz. Şimdi Laplace dönüşümünün tanımını baştan yazalım. Süslü L'miz gelsin t cinsinden bir fonksiyonun Laplace dönüşümü eşittir, 0'dan sonsuza e üzeri eksi s t çarpı fonksiyonumuzun has olmayan integrali. Çarpı t cinsinden fonksiyonumuz d t. Şimdi bir başka Laplace dönüşümü yapalım. e üzeri a t'nin Laplace dönüşümünü bulalım. e üzeri a t'nin Laplace dönüşümü. Laplace dönüşümü tanımına koyalım. Bizim için iyi bir integral pratiği olacak. Özellikle kısmi integral. Neredeyse her Laplace dönüşümü sorusu, kısmi integral sorusuna dönüşüyor. Kısmi integrali, çok zaman önce, çarpım kuralının tersi olarak öğrenmiştik. Neyse. Bu, 0'dan sonsuza e üzeri eksi s t çarpı e üzeri a t'nin integrali, öyle değil mi? Bu, f t. d t. Burada üsleri topluyoruz, çünkü tabanlar aynı. 0'dan sonsuza e üzeri a eksi s t d t'nin integrali. Bunun terstürevi nedir? Bu neye eşit? t'ye göre. a eksi s, sabit, öyle değil mi? Dışarıya alabiliriz. 1 bölü a eksi s, çarpı e üzeri a eksi s t. Bunun, t sonsuza giderken değerini veya limitini bulacağız. Ve, t eşittir 0 için değerini çıkaracağız. Bunu parantez içinde de bırakabilirdim, ama sadece bir sabit , öyle değil mi? Bunlarda t yok, onun için dışarı alabilirim. Bu eşittir, 1 bölü a eksi s çarpı şimdi t sonsuz olduğundaki değeri bulmamız gerekiyor. Sonsuzdaki limit nedir? Burada iki durum var, öyle değil mi? Bu üs, yani a eksi s pozitif ise, a eksi s 0'dan büyükse, ne olur? Sonsuza yaklaştıkça, e üzeri sonsuz gittikçe büyür, öyle değil mi? Çünkü e'yi sonsuz büyüklükte pozitif bir üsse alıyoruz. Yani, bir cevap bulamıyoruz. Has olmayan integral çözerken, sonsuzdaki limiti aldığımızda, sayı çıkmıyorsa, has olmayan integralin ıraksadığı sonucuna varırız. Yani, limit yoktur. Laplace dönüşümü, a eksi s 0'dan büyükse, veya a s'den büyükse tanımsızdır. a eksi s 0'dan küçükse, ne olur? Bu da negatif bir sayı olur, öyle değil mi? e'yi eksi sonsuz kuvvetine alırsak, bu bir sayıya yaklaşır. 0'a yaklaşır. Bunu bir önceki videoda görmüştük. e üzeri eksi sonsuz 0'a yaklaşır, e üzeri artı sonsuz da sonsuzdur. Yani, bu yakınsamaz. Neyse. a eksi s'nin 0'dan küçük veya a'nın s'den küçük olduğunu varsayarsam, has olmayan integral bir sayıya yakınsar. a eksi s 0'dan küçükse, bu negatif bir sayı olur. e üzeri a eksi s çarpı t, t sonsuza giderken, 0 olur. Eksi bu integralin 0'daki değeri. Bunun 0'daki değeri nedir? t eşittir 0. Bunun tamamı, e üzeri 0, yani 1 olur. Geriye ne kalır? Eksi 1 bölü a eksi s. Bu da 1 bölü s eksi a'ya eşit. Laplace dönüşüm tablosundaki yeni kaydımızı bulduk. İşte Laplace dönüşümü. e üzeri a t'nin Laplace dönüşümü eşittir 1 bölü s eksi a. s'nin a'dan büyük olduğunu varsayarsak. s a'dan büyükse veya a s'den küçükse, bu doğru. İki türlü de düşünebilirsiniz. Laplace dönüşüm tablosundaki ikinci kaydımız böyle. Bir önceki kaydımızla bir önceki videomuzla bağlantı oluşturabiliriz, öyle değil mi? Laplace dönüşüm tablosuna ilk ne yazmıştık? 1'in Laplace dönüşümü eşittir 1 bölü s. 1, e üzeri 0'la aynı değil mi? Yani, şöyle de diyebilirdik. 1'in Laplace dönüşümü eşittir e üzeri 0 çarpı t, öyle değil mi? Bu da 1 bölü s'ye eşit. Dönüşüm formülünün tutarlı olduğunu görmüş olduk. Hatırlarsanız, s'nin 0'dan büyük olması şartını koymuştuk, öyle değil mi? Bu örnekte s'nin 0'dan büyük olduğunu varsaymıştık. Burada yine s'nin 0'dan büyük olduğunu söylüyoruz. Bu, şununla tutarlı, öyle değil mi? Çünkü a 0'a eşitse, e üzeri 0'ın Laplace dönüşümü, 1 bölü s eksi 0. Bu da, sadece 1 bölü s. Burada, s'nin 0'dan büyük olduğunu varsaymamız gerekiyor. Yani, Laplace dönüşüm tablosundaki bu iki şey aslında aynı. Neyse, bir sonraki videoda görüşürüz. Laplace dönüşümü tablosunu oluşturmaya devam edeceğiz. Birkaç video sonra, bu dönüşümlerin değişik diferansiyel denklem tiplerini çözmekte ne kadar faydalı olduğunu göstereceğim. Yakında görüşmek dileğiyle.