L{sin(at)}) - sin(at) Dönüşümü (1. Bölüm)

Laplace dönüşümü tablosunu oluşturmaya devam edelim. Şimdi daha karışık bir soru çözelim. Bu Laplace dönüşümünü faydalı bulacaksınız. Aslında şimdiye kadar yaptığımız tüm dönüşümler faydalıydı. İlerde çok da faydalı olmayan dönüşümler yapmaya başladığımızda size söylerim merak etmeyin.Şimdi, sinüs sabit çarpı t'nin Laplace dönüşümünü bulalım.Laplace dönüşümünün tanımı, has olmayan bir integraldi. Laplace dönüşümü sadece bir tanımdır. Bu dönüşümün çok faydalı bir araç olduğunu unutmayın. Bu konuya sonra neyse değineceğiz. Neyse, 0'dan sonsuza e üzeri eksi s t çarpı Laplace dönüşümünü aldığım şey çarpı sinüs a t d t'nin integrali. Şimdi kısmi integral alacağız. Formülü hep unuttuğum için, kısmi integral formülünü tekrardan ispatlamam gerekiyor. Her seferinde baştan ispatlamanızı tavsiye etmem. Sınav için önceden ezberlemeniz daha iyi olur. Kısmi integralin çarpım kuralının tersi olduğunu unutmayın. İspatı hemen şu köşede yapayım. Çarpım kuralında u çarpı v diye iki fonksiyon varsa ve u çarpı v'nin türevini alıyorsak. t cinsinden iki fonksiyon olduklarını varsayalım. u x çarpı v x olarak yazabilirdim. Çarpım kuralına göre, türev eşittir birinci fonksiyonun türevi çarpı ikinci fonksiyon artı birinci fonksiyon çarpı ikinci fonksiyonun türevi. Şimdi, iki tarafın integralini alırsak, u v eşittir u üssü v d t'nin integrali artı u v üssü'nün integrali. Şimdi bunu iki taraftan çıkaralım. O zaman, u üssü v'nin integrali eşittir u v eksi u v üssünün integrali. Ve tabii, bu t cinsinden bir fonksiyon. Burada d t falan var. Ve tabii, bu t cinsinden bir fonksiyon. Eğer formülü ezberlemek isterseniz, şöyle düşünebilirsiniz: Bir türev ve fonksiyonun integralini almak isterseniz, iki fonksiyonun çarpımı eksi tersinin integrali olur.Öyle değil mi? Çıkarma işleminde, türevi verilenden türevi verilmeyeni çıkarıyoruz. Neyse, şimdi bu soruya uygulayalım. İki türlü de uygulayabiliriz. u üssü eşittir e üzeri eksi s t diyelim. Bunun terstürevi, eksi 1 bölü s e üzeri eksi s t, öyle değil mi? Bunun ters türevi budur. Bu bir şimdi kısmi integral sorusu oldu, öyle değil mi? Laplace dönüşümüne y diyelim. İleride bunun faydasını göreceğiz. Kısmi integrali işlerken buna çok benzer bir soru yapmıştım.Neyse, şimdi kısmi integrale dönelim. Bu u. Bu u üssü, öyle değil mi? Bu u üssü ise, bu da v demektir. Yani, v eşittir sinüs a t. O zaman v üssü nedir? a çarpı kosinüs a t'dir, öyle değil mi ? Zincir kuralı.Şimdi integral almaya hazırız. Laplace dönüşümü, yani y, eşittir u üssü v. u üssü v'yi tanımladım, öyle değil mi? Bu da şuna eşit. u üssü v'nin integrali eşittir u v. Eksi 1 bölü s e üzeri eksi s t çarpı v, sinüs a t, eksi. Kısmi integral alırken, bu, belirsiz, belirli veya has olmayan bir integral olabilir.Limitler aynı kalır. 0'dan sonsuza u v üssünün integrali diyebiliriz. u eşittir eksi 1 bölü s e üzeri eksi s t çarpı v üssü, çarpı a kosinüs a t d t. Şimdi bir başka karışık integral elde ettik. Bu integral için de kısmi integral formülü gerekecek. Şimdi bakalım, sadeleştirebilecek miyiz. Sabitleri dışarı alalım. Şunu baştan yazalım. y eşittir eksi e üzeri eksi s t bölü s, sinüs a t. Şimdi, eksi eksi, artı a bölü s bu iki eksi birbirini götürür çarpı 0'dan sonsuza e üzeri eksi s t kosinüs a t d t'nin integrali. Bir kere daha kısmi integral alalım. u üssü eşittir e üzeri eksi s t. Yani bu u üssü. u eşittir eksi 1 bölü s e üzeri eksi s t. v eşittir kosinüs a t diyelim. Çözümün en zor kısmı, dikkat hatası yapmamak. v üssü eşittir eksi a sinüs a t, öyle değil mi? Zincir kuralı, kosinüsün türevi, eksi sinüs. Şimdi bunu yerine koyalım bu, bayağı karışık y eşittir eksi e üzeri eksi s t bölü s, sinüs a t artı a bölü s çarpı kısmi integral. u v. Yani, eksi 1 bölü s e üzeri eksi s t çarpı v çarpı kosinüs a t eksi 0'dan sonsuza integral. 0'dan sonsuza u v üssünün integrali. u eşittir eksi 1 bölü s e üzeri eksi s t. Ve, v üssü çarpı eksi a. Bu eksiyle şu eksiyi sadeleştirelim. Artı olsun.a sinüs a t d t. Sonucu görebiliyorum.Şimdi sadeleştirelim. Bunun tamamının değerini bulmam lazım, öyle değil mi? Her şeyin değerini bulacağız. Şimdi belirsiz integrale odaklanalım. y'nin terstürev olduğunu varsayarsak, sonsuzdan 0'a değerini bulmak zorundayız. 0'dan sonsuza. y eşittir eksi e üzeri eksi s t bölü s, sinüs a t. Şimdi bunu dağıtalım. Eksi a bölü s kare, e üzeri eksi s t, kosinüs a t, öyle değil mi? Tamam. Şimdi burada bir dikkatsizlik yapmayalım.Bununla şunu çarpalım ve sabitleri dışarı alalım.a ve s var. a bölü s. Eksi de var. Artı a bölü s de mevcut.Yani, eksi a kare bölü s kare çarpı şimdi sadece belirsiz integrali buluyorum, değerini sonra bulacağım. e üzeri eksi s t, sinüs a t d t. Evet şimdi dikkat. Bu ifadenin orijinal y ile aynı şey olduğunu görüyor musunuz? Bu orijinal y. Belirsiz integrali aldığımızı ve limitlerin değerini sonradan bulacağımızı hatırlayalım. Limitleri çözüm boyunca tutabilirdik, ama integrali daha da karışık yaparlardı. Şimdi bu integrale y diyelim. Tanımımız böyleydi. Evet ama bu arada yine çok uzattım konuyu. Bence bu kadarı bu video için kafi bir sonraki videoda bu soruya devam edeceğiz.Yakında görüşürüz.