If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik

sin(at) Dönüşümü (2. Bölüm)

sin(at)'nin Laplace dönüşümü 2. Kısım. Orijinal video Sal Khan tarafından hazırlanmıştır.

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Henüz gönderi yok.
İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.

Video açıklaması

Tekrar hoş geldiniz. Sinüs a t'nin Laplace dönüşümünü yapıyorduk ki, videoyu kestim ve devam edeceğimi söylemiştim. Bu, sinüs a t'nin Laplace dönüşümünün tanımı. Buna y demiştim. Bu bizim için faydalı olacak, çünkü iki kere kısmi integral alacağım. Burada ilk kısmi integrali aldım. Burada da ikinci kere aldım. Size, şimdilik limitleri düşünmeyin, demiştim. Sadece belirsiz integralle uğraşalım. y'yi bulduktan sonra diyelim ki, y bunun belirsiz hali limitlerin değerini sonra bulabiliriz y'yi bulduktan sonar. Buraya kadar gelmiştik.İki kere kısmi integral formülünü uyguladıktan ve dikkat hatası yapmamak için çok uğraştıktan sonra bunun orijinal y'miz olduğunu fark etmiştik. Buraya limitleri koyarsam, sinüs a t'nin Laplace dönüşümünü bulmuş olurum, öyle değil mi? Bu, orijinal y'miz. Bu, orijinal tanımımızdı. Şimdi iki tarafa a kare bölü s kare y ekleyelim. Bu eşittir, y artı denklemin iki tarafını bu ifadeyle topluyorum a kare bölü s kare y eşittir bu terim gitti, onun için buna eşit. Bakalım, sadeleştirebilecek miyiz. e üzeri eksi s t'yi dışarı alalım. Veya, eksi e üzeri eksi s t'yi dışarıya alalım. Buna göre, eksi e üzeri eksi s t çarpı sinüs şuraya 1 bölü s, sinüs a t eksi 1 bölü s kare, kosinüs a t yazalım. Umarım, bir dikkatsizlik yapmamışımdır. Katsayıları toplayabiliriz şimdi. 1 artı a kare bölü s kare çarpı y çıkar. Bu, s kare bölü s kare artı a kare bölü s kareyle aynı şey. Yani, s kare artı y kare, bölü s kare, y eşittir, eksi e üzeri eksi s t çarpı bunun tamamı, sinüs a t eksi 1 bölü s kare, kosinüs a t. Her şeyi t'ye göre yaptığım için, bu sadece bir sabit, öyle değil mi? Sabit çarpı terstürev, buna eşit, diyebiliriz. Şimdi limitlerin değerini bulalım. Burada bir t olsaydı, diğer tarafa almaya çalışacaktım. Çünkü limitlerin değerini t ile buluyoruz. Şimdi limitlerin değerini buluyoruz. Limitleri çözüm boyunca taşıyabilirdik, öyle değil mi? Bu terimi dışarı aldık. Neyse. Bunun 0'dan sonsuza değerini bulalım. Sadeleşeceğini düşünüyorum. Denklemin sağ tarafının sonsuzdaki değerini bulursak, e üzeri eksi sonsuz nedir? 0'dır.Daha önce birkaç kez söylemiştik. 0'a eksi taraftan yaklaştığımızda da, 0 olacak. Sinüs sonsuz nedir? Sinüs, eksi 1 ile artı 1 arasında gidip geliyor. Kosinüs de aynı şekilde. Öyle değil mi? Yani, bu, sınırlı. Bu şey ağır basacaktır. Merak ediyorsanız, grafiğini çizebilirsiniz. Bu, dalgalanmaları kapatır. Yani, bu sonsuza giderken, limit 0'a eşit olacak. Bu mantıklı, öyle değil mi? Bunlar artı 1 ve eksi 1 arasında sınırlı. Ve bu, çabucak 0'a yaklaşıyor. Yani, 0 çarpı, eksi 1 ile 1 arasında sınırlı bir şey. Şöyle de düşünebiliriz: Bunun eşit olabileceği en büyük değer, 1 çarpı önündeki katsayı ve bu da 0'a gidiyor. 0 çarpı 1 gibi. Eksi bunun tamamının 0'daki değeri. Peki, e üzeri 0 nedir? e üzeri 0 eşittir 1. Öyle değil mi? e üzeri 0. Eksi 1'imiz var, artı 1 olur sinüs 0 eşittir 0. Eksi 1 bölü s kare, kosinüs 0.Bakalım. Kosinüs 0 eşittir 1 ve eksi 1 bölü s kare var. Eksi 1 bölü s kare, çarpı 1. Bu da eşittir, eksi 1 bölü s kare. Sanıyorum bir hata yaptım, çünkü burada negatif bir sayı olmamalıydı. Adımlarımıza bakalım. Peki bu negatif değildi. Sonsuz, öyle değil mi? Bunun tamamı 0. Buraya 0 koyarsak, bu eksi 1 olur. Evet. Yani, ya bu artı, ya da şu.Bakalım, hatayı nerede yaptım. Tamam, hatanın nerede olduğunu gördüm. Tam şurada. Eksi e üzeri eksi s t'yi dışarı alırken, tam orada hatayı yapmışız. Peki.Burası, 1 bölü s, sinüs a t oluyor. Ama, eksi e üzeri eksi s t'yi dışarı alırsam, bu, artı olur, öyle değil mi? Burası eksi idi, ama eksi e üzeri eksi s t'yi dışarı alıyorum.Yani, bu artı.Bu artı. Hatayı evet hemen bulduğuma sevindim. O zaman, bu artı olur.Bu da artı olur. Eğer iki videonun sonunda bir negatif sayı elde etseydim, . çok üzücü olacaktı neyse. Şimdi, s kare artı a kare bölü s kare çarpı y eşittir bu. İki tarafı, s kare bölü s kare artı a kare ile çarpalım. İki tarafı buna bölerseniz, y eşittir 1 bölü s kare bir dakika, bununda doğru olduğundan emin olayım.1 bölü s kare. y eşittir 1 bölü s kare, çarpı s kare, bölü s kare artı a kare. Bunlar sadeleşir. Başka bir dikkat hatası yapmadığıma emin olayım.Çünkü sanki yapmışım gibi geliyor. Evet. Burada, bu terim hatalı. Umarım hatalarımdan rahatsız olmuyorsunuz. Çünkü bu soruları gerçek zamanda çözüyorum ve bende bir insanım sonuçta. Neyse, yine aynı hatayı yaptım. e üzeri eksi s t'yi dışarı aldım, yani bu artı. Ama, a bölü s kareydi.Yani, bu a. Bu a.Ve, bu da a.Yani, bu a. Öyle değil mi? Bu a idi. Doğru cevap, bu. a bölü s kare artı a kare. Umarım, bu dikkat hataları sizi sorudan iyice uzaklaştırmamıştır, dikkatinizi dağıtmamıştır. Birkaç değişkenle iki kere kısmi integral aldığımız zaman, böyle şeyler oluyor.Neyse, şimdi Laplace dönüşümü tablomuza önemli bir ekleme yapabiliriz. Sinüs a t'nin Laplace dönüşümü eşittir a bölü s kare artı a kare. Pratik yapmak isterseniz, iki kere kısmi integral almanın ne kadar eğlenceli olduğunu görmek için, kosinüs a t'nin Laplace dönüşümünü bulabilirsiniz. Size bir ipucu vereyim. S bölü s kare artı a kare. Dönüşümlerdeki simetri çok güzel. Neyse, bu arada yine çok uzattım zamanım doldu.Bir sonraki videoda görüşmek dileği ile.