Dirac Delta Fonksiyonu

ben size Benim adım fonksiyonunu anlattığımda bu fonksiyonun kalkülüs ya da Cebir derslerinizde gördüğünüz fonksiyonlardan çok daha ilgi çekici olduğunu söylemiştim bunu size göstermenin sebebi ise birçok fiziksel sistemin bu şekilde işliyor olması demek istediğim gerçek fiziksel sistemlerde genellikle uzun bir süre boyunca bir şey olmaz ve birden bire bir şeyler olur tam olarak bu şekilde olur demek de doğru olmaz ama Olan bitenin birim adım fonksiyonu ile yaklaşımını alabileceğimizi söyleyebilirim benzer bir şekilde zaman zaman yine uzun süre bir şey olmaz ve sonra birden bire bir şey olur olan şey yeniden kaybıdır ve yine hiçbirşey olmaya başlar bunun ne olduğunu öğreneceksiniz ama şimdilik bunun Mesela bir dürtü olduğunu düşünebilirsiniz birim dürtü fonksiyonlarından da bahsedeceğiz ama bunu bu diyen bir davranışı modelleyen bir fonksiyonu muz olsaydı hiç de fena olmazdı öyle değil ideal fonksiyonda belirli bir noktaya kadar hiçbir şey olmaz ama o belirli noktaya geldiğimizde fonksiyon sonlu bir alanda sonsuz seviyede kuvvetli bir çıkış yapar sonra da hemen sıfıra geri döner ve o şekilde devam eder buranın sıfır olduğunu düşünelim 0da sonsuz derecede yüksek olacak ve sonra da sıfır olmaya devam edecek bunun altındaki alanı düşünecek olur isek bu arada buna fonksiyon demek Biraz İleri gitmek gibi de olabilir yani buna fonksiyon dediğimizde bu videoların seviyesinin ötesinde bir matematikten bahsediyoruz ama şimdilik bunun bir fonksiyon olduğunu düşüneceğiz bekleyeyim bu fonksiyon ne gibi durumlar için uygundur Ya da nasıl değiştirilebilir size bu fon ya Onun bir tanımını daha vereceğim Bu fonksiyonu Delta ile gösterelim Bu arada bu fonksiyon zaten Delta ile gösterilir ve at da İrak Delta fonksiyonudur Bu fonksiyonu -0 olduğunda sonsuz weixin diğer değerlerinde ise sıfır olarak tanımlıyoruz bu fonksiyonla nasıl çalışılabilecek mi merak ediyorsunuz Öyle değil mi Evet Sizce Sizce bunun integralini alabilir miyiz yardımcı olması adına size bir tanım vereceğim ve bunun integralinin neye eşit olduğunu söyleyeceğim Bu fonksiyonun tanımının bir kısmıdır hemen yazıyorum Bu fonksiyonun eksi Sonsuzluğa sonsuz arasındaki integrali ki bu reel sayı doğrusunun tamamı anlamına gelir Evet bu fonksiyonun Bu aralıktaki integralini bir olarak tanımlıyor bu bir tanıtım bu noktada elimizde her Bu bir ispat olmadığını düşünüyor olabilirsiniz Evet ıslatmadım çünkü bu az önce de söylediğim gibi bir tanım size bu fonksiyonun yani Delta ixion bu Aralıkta integrali 1'e eşit olan bir fonksiyon olduğunu söylüyorum fonksiyonun sonsuz derecede dar bir tabanı var ve sonsuz derecede yüksek bir değere kadar çıkıyor ve Şimdiden size Bu alanın 1'e eşit olduğunu söylüyor Ne kadar da çılgın bir fonksiyon Öyle değil mi bunun nasıl bir fonksiyonu olduğuna dair daha çok bilgiye ihtiyacım var dediğinizi duyar gibiyim Size yardımcı olmaya çalışayım anladığınızdan emin olduktan sonra da bununla Plas dönüşümünü alıp fonksiyonlu oynamaya başlayacağız Şuradaki deltayı da daha düzgün yazayım Evet oldu Bir fonksiyon daha tanımlayalım de altı in this town Bu arada Bunu direkt elde fonksiyonun nasıl oluşturulabilecek hak bu daha fazla bilgi verebilmek için yapıyorum de altın distan YouTube nin bir fonksiyonu olarak tanımlayacak neden diyecek olursanız lapras dönüşümü dünyasında her şeyin tenin bir fonksiyon olduğunu hatırlıyorsunuz değil mi eşittir 1/2 tavuğu yazıyorum Neden bu değerleri seçtiğimi birazdan anlayacaksınız K eksi tavuğu dan büyük tavuğu da anda küçükken fonksiyon 1/2 tau değerini alıyor olsun Tenin diğer tüm değerlerinde is0 olsun bu fonksiyon daha anlaşılır Bir fonksiyon öyle değil birim adım fonksiyonlarının bir kombinasyonla benziyor Hatta bunu birim adım fonksiyonlarının bir kombinasyon olarak tanımlayabileceğimiz i de söylemek istiyorum şimdi bu iex ve bu da y Eksen olsun para özür dilerim bunun eksilterek sen olması lazım bu konuda Bunun ilk seks ne olması gerektiği fikrini alışmam gerekiyor Evet buna ysaye ya da ye eşittir etti ekseni diyebiliriz Ne de olsa bu Bağımlı değişken Öyle değil mi bakalım ne oluyormuş Extra Oya gelene kadar sıfır eksi Ta o da bir atlama yapacak Evet burayı eksi tavuğu olarak belirleyelim Burası da artı tavsu nexi tavuğu ve artı tavuğu arası dışında Sıfıra eşit bahsi geçen Aralık'ta bir değer alıyor ve bu değerde sabit kalıyor bu değer ve 1/2 TAV bağımlı eksendeki bu değerini Evet 1/2 tam olarak işaret diyorum Bu fonksiyonu neden bu şekilde oluşturmuş olabilirim Hadi gelin biraz düşünelim mesela integralini aldığımızı düşünelim tekrar işaretini daha düzgün yapabilirim Evet eksi Sonsuzluğa sonsuz arasında de altın dista uetd'nin belirli integrali Bu bir değişle bu eğri altında kalan alan Aslında hesaplaması da çok kolay bu Aralık dışında değeri her yerde sıfır olduğuna göre Sadece bu alana odaklanmamız lazım demek istediğim bu integral ipeksi tavuğu ile artı tavuğu arasında olarak da düzenleyebilirim eksi sonsuz ve sonsuzun Bu anlamda bir önemi yok çünkü fonksiyonun değeri bu Aralık dışında ki her yerde sıfır 1/2 tavuğu DT Evet istersek integrali bu şekilde de yazabiliriz sınır değerlerini değiştirdim Çünkü az önce dediğim gibi bu Aralık dışında fonksiyonun değeri hepsi sıfır Aralık'ta ise değeri sabit ve 1/2 tavla eşit integrali istediğinizi kullanarak hesaplayabilirsiniz aslına bakarsanız bu integralini eşit olduğunu bulmak için kalkülüs bilmemize gerek yok buradaki alan Öyle değil mi uzun kenar yani tavuğu ve eksi tavırdan iki tavuğu dur Kısa kenarı ise 1/2 tam olduğuna göre alan 1E eşittir isterseniz bunu da yapalım 1/2 tavanın ters türevi Evet içinize sinmesi için yapayım te bölü iki tavuğu ya eşittir bunun tavuğu ve eksi tavla aldı değerleri de bulalım tavuğu da Tavuğu bölü iki tavuğu elde ederiz eksi eksi tavuğu bölü iki tarafından Sonuç olarak iki tava böreği ki tavuk Yani bir buluruz bu Belki de fazla olmuştur yani aslına bakarsanız alanın bir eşit olduğu Son derece açık ve net öyle değil ta Onun değeri ne olursa olsun Bu alanın değeri değişmez ve bir eşittir Şimdi tam onun giderek küçülen değerlerini alırsam ne olur yani tam onun burada olduğunu düşünelim tavuğu daha küçük bir sayı olduğundan bir bir süre iki tavuğu buna benzeyen bir değere eşit olur öyle değil mi Evet böyle olur tavuğunun giderek küçülen değerleri için mesela bunu da ele alalım yüksekliğinde aynı oranda büyümesi gerekir 1/2 tavuğu bundan da büyük bir değer olur size ne anlatmaya çalıştığım anladınız diyemem tavuğu sıfıra yaklaştığında bunun limiti hemen yazıyorum tavuğu sıfıra giderken de alt indesta u Tenin limiti Bunlar sıfıra çok ama çok yaklaşacak ama bu limit bu olduğu için asla sıfır olmayacak yükseklik hissi Az önce gösterdiğim mantıkla sonsuz derecede artmış olacak ama ta Onun değeri ne olursa olsun alan her zaman bir kalacak ve Buradan da dir adelta fonksiyonunu elde etmiş olacağız yine Excel olacaktır hemen düzelteyim bırak deltada ten bu konuşuyordur bunun için limit tau sıfıra giderken eksi sonsuz da sonsuz arasında de alt indesta uetd'nin belirli integrali iğne 1'e eşit olmalıdır neden diyecek olursanız buradan bir elde ederiz ve tavuğu sıfıra giderken Bu arada limitlerin tanımları konusunda da oldukça Bonkör davrandım Yani çok da özenli değildim ama bu şekilde bile size ne anlatmaya çalıştığımı anladığınızı düşünün bu 1E eşittir aynı mantıkla eksi sonsuzla sonsuz arasında dira Delta T DT nin belirli integralinin de bire eşit olacağını söyleyebiliriz te0 olduğunda bu sonsuz atlıyordu eksenini şu şekilde çizecek olur isem Evet te0 olduğu anda bırak Delta fonksiyonu bu şekilde zıplayacak bu fonksiyon normal bu şekilde çizilir bire kadar çıkıyormuş gibi gösterirsiniz Ama bunun direkt dert olduğunu göstermek için buraya da bir ok koyarsınız belki Bu fonksiyonu ötelemek istersek ne olur mesela Delta T eksi 3'ü nasıl gösterebilirim Bu fonksiyonu 3 birim sağ öteler Öyle değil mi Örneğin T3 e eşit olduğunda bu direkt der.tas Sıfıra eşit olur Bunun grafiği de bu yüksek seni olsun Bu dahiye buraya bir işaret diyorum buraya da 1 2 ve üçü bu arada buna yine yüksek seni dedim ama aslında tek sen olacağını artık biri olmalısınız diğer akder da fonksiyonu her yerde sıfır olacak ama 3D sonsuz derecede büyük bir zıplama yapacak bu kadar büyük zıplamaya çizecek kadar kağıdımız olmadığı da başka bir konu Ama bunu göstermek adına buraya bir ok koyduğumuz dan bahsetmiştim Yani yine öyle yapacağım ok ve yine az önce söylediğim gibi alanın bir olduğuna bir gönderme yapması adına bir birim boyunda çiziyorum Evet işte böyle bunun fonksiyonun te eşittir 1/3 değerini alıp sonra yeniden sıfır olduğu anlamına gelmediğinin bir kere daha altını çizeyim bunun anlatmak istediği şey fonksiyonun altında kalan alanın bir eşit olduğunu Eğer düşünecek olursanız altında bir alan olabilmesi için bunu zaten sonsuza kadar çıkması gerekirdi Rock Delta fonksiyon altındaki alan 1E eşittir Bu te -3 ama alan yine 1'e eşit okun bire kadar çıkmasının sebebi de ile Zaten farklı bir renkle yazayım Şimdi mesela iki çarpı tira Delta T eksi ikinin grafiğini çizmek istediğimi düşünelim nasıl yapabilirim te eksi ikiye gideceğim demek istediğim T2 eşit olduğunda diğer eder kas sıfırı elde edeceğiz yani atlama burada bu Ama bunu bir de 2 ile çarp mamız lazım Bunun için oku iki katına çıkarıp grafiği bu şekilde çizeceğim bunların ikisi de sonsuza gidiyor ama bu sonsuzun iki katına gidiyor işin biraz komik değişmeye başladığının farkındayım ama Bunu yapmamın sebebi buradaki alanın Bu alanın iki katı olduğunu göstermek oku ikiye kadar uzatarak da bunu yani alanın iki eşit olduğunu Anlatmaya çalışıyoruz atlama sonsuza kadar gidiyor Anlaştık mı tüm bunlar biraz soyut oldu ama bunların bu şekilde hareket eden sistemleri anlatmak için son derece başarılı Yollar olduğunda bilmenizi istiyor aslına bakarsanız tam olarak bu şekilde davranan bir sistemde yoktur Ama gerçek hayatta da fizikte Bu şekilde atlamalar yapan fenomenlerden bahsedebiliriz bu durumlarda atlamanın tam olarak neye benzediğini Söylemek yerine de bunun bir direkt Delta fonksiyonu olduğunu söylüyoruz dürtüsünü de bu şekilde açıklıyoruz size bu şu anda yatan mantı biraz daha iyi anlatmak için bu arada bunu bir önceki video yapmak istiyordum ama sonra vazgeçtim Şimdi yapacağım Çünkü şu ana kadar bir sürü diferansiyel denklem görmemize rağmen size bunların Gerçek kullanımlarından çok bahsetmedim Evet bir Tuğba düşünmedim ve bu duvara bu şekilde bağlı bir yay olduğunu varsayalım yayın ucunda da bir kütle olsun bu Yayın normal durumu ya da sistemin denge dur yay ye uzunluğu kadar uzamış Yani normal durumundan ye benim ötede Burada da bir dış kuvvet olsun bu kütlenin ve altındaki yüzeyinde sürtünmeyi tamamen gözardı etmek için buzdan yapıldığını düşünelim size şimdi Bu sistemin davranışını diferensiyel bir denklem ile tanımlayabileceğimiz göstereceğim ve birim adım ya da direkt Delta gibi fonksiyonların işe yarar olmaya başladıkları durumlarda işte bunlardır bu kütle çarpı inmeye eşit olduğunu fizik derslerinden hatırlıyor olmalısınız ve ki bu kütleye etki eden kuvvetler hangileridir buradaki kuvvet var sağ yönün pozitif yeni olduğunu da varsayalım Buna ek olarak bir de yayın uyguladığı negatif kuvvet vardır Öyle değil yayın uyguladığı kuvveti hukuk yasasından bulabiliriz Bu da denge durumundan Ne kadar uzakta olduğu ile alakalıdır başka bir değişle bu yöndeki kuvvet Az önce sağ tarafı pozitif olarak belirlediğimiz için eksik a y y eşittir O halde Net kuvvet efeck sikaye olacak Evet böyle yazabilirim ve bu cismin kütlesi ile iyi Messi'nin çarpımına eşittir pekiştirilmesi hakkında ne söyleyebiliriz onu mu Eğer ye ise yeğenin Teyze'ye göre türevi ye üssü ya da de ye bölü DT bize cismin hızını verir Bunun teyze göre türevini aldığımızda da ye de ikinci türevi de kareye bölü DT kare yani inmesini bulmuş oluruz Bu yüzden de buraya A yerine ye üssün üssü yani yeni ikinci türevi yazacağım bunu eşitliğin diğer tarafına alalım kuvvet eşittir Evet bu kuvvetten bahsediyorum cismin kütlesi çarpı cismin ivmesi artı yayın yay sabiti çarpık onu mu yani ye ye eşit olduğunu Buluruz bir diş kuvvet olmasaydı o zaman homojen bir diferansiyel denklem elde ederdik ve bu durumda yayda kendi kendine hareket etmeye başlardı ama işin içine Eve geldiğinde yani homojen olmayan Terim kütle Uygulanan kuvvet ve bu kuvvetin bir tirak Delta fonksiyon olduğunu düşünelim mesela Direkt Delta T -2 eşittir kütle çarpı ye üssün üssü artık a çarpı ye elde ederiz Bu sistemin Face 12'de hareket edeceği anlamına gelir bundan dürtüsü iki olacak diye de bahsedilir ama bunları size daha sonra anlatacağım kuvvet çarpı zaman ya da bir saniye dürtüsü bir olacak fiziğe çok fazla girmek istemiyorum ama dürtüsü ya da Momentum undaki değişim büyüklüğü birimlerine olduğuna bağlı olarak bire eşit olacak Size tüm Bunları anlatmak istedim Çünkü size bir sürü garip Gördüm hatta isimli fonksiyondan bahsettim ve bunların gerçekten nasıl kullanıldıklarını bilmenizi istedim evet zaman zaman bir şey bu şekilde hareket ettirir ve bırakırsınız sonsuz derecede hızlı yaparsınız Ama bunun doğru tanımlanmış bir şekilde montumu değiştirmeye yeterli olması gerekir sıradaki videoda direkt arkadan bahsetmeye devam edecek lapras dönüşümünü alacak ve farklı fonksiyonların ne Atlas dönüşümlerine ne yapacağını göreceğiz