Doğrusal Operatör ve Türevin Laplace Dönüşümü

Şimdi, Laplace dönüşümünün ilginç ve faydalı özelliklerinin üzerinden geçmek için güzel bir zaman. İlk olarak, lineer işlemci olduğunu gösteriyoruz. Bunun anlamı nedir? İki fonksiyonun ağırlıklı toplamının Laplace dönüşümünü aldığımızı düşünelim. Bir sabit, c 1, çarpı birinci fonksiyon, f t, artı başka sabit, c 2, çarpı ikinci fonksiyon, g t. Laplace dönüşümünün tanımına göre, 0'dan sonsuza e üzeri eksi s t, çarpı Laplace dönüşümünü aldığımız fonksiyon, yani çarpı c 1, f t artı c 2 g t sanıyorum, bunun nereye gittiğini görüyorsunuz, d t'nin has olmayan integrali. 0'dan sonsuza bir integral. e üzeri eksi s t'yi dağıtalım. Bu, neye eşit? Bu eşittir, c 1 e üzeri eksi s t f t artı c 2 e üzeri eksi s t g t, tamamı çarpı d t. Ve integralin özelliklerine göre, bunu iki integrale bölebiliriz, öyle değil mi? İki fonksiyonun toplamının integrali, integrallerin toplamına eşit. Bunlar sabit. Yani, bu eşittir c 1 çarpı, 0'dan sonsuza e üzeri eksi s t çarpı f t d t'nin integrali artı c 2 çarpı 0'dan sonsuza e üzeri eksi s t g t d t'nin integrali. Çok uzun bir yoldan şunu demiş oluyoruz. Bu nedir? Bu, f t'nin Laplace dönüşümü. Bu da g t'nin Laplace dönüşümü. Yani, bu eşittir c 1 çarpı f t'nin Laplace dönüşümü artı c 2 çarpı g t'nin Laplace dönüşümü. Böylece, Laplace dönüşümünün bir lineer işlemci olduğunu göstermiş olduk, öyle değil mi? Bunun Laplace dönüşümü, şuna eşit. Aslında, toplama işlemini ve sabitleri ayırabiliyor ve bu şekilde Laplace dönüşümünü alabiliyoruz. Bu, bilinmesi faydalı bir şey ve böyle olduğunu tahmin ettiğinizi düşünüyorum sizinle. Ama, şimdi eminsiniz. Şimdi ise, daha da ilginç bir şey yapacağız. Bu, Laplace dönüşümlerinin neden diferansiyel denklem çözümünde çok faydalı olduğunun ipucunu verecek bize. Diyelim ki, f üssü t'nin Laplace dönüşümünü bulmak istiyorum. Bir f t fonksiyonum var, türevini alıyorum ve sonra da bunun Laplace dönüşümünü bulmak istiyorum. Fonksiyonun ve türevinin Laplace dönüşümleri arasında bir bağıntı bulmaya çalışalım. Burada kısmi integral kullanacağız.Öncelikle, bunun ne olduğunu söyleyelim. Bu, 0'dan sonsuza e üzeri eksi s t çarpı f üssü t d t'nin integrali. Bunu bulmak için kısmi integral kullanıyoruz. Şuraya yazayım da, ne olduğunu hatırlayın. Kısaltmalarla yazacağım. u v üssünün integrali eşittir, iki fonksiyonun türevsiz hali, u v eksi tersinin integrali. Tersi, u üssü v. f x'i bulmaya çalışıyoruz şimdi, öyle değil mi? v üssüne f üssü diyelim. u'ya da e üzeri eksi s t. u eşittir e üzeri eksi s t. v neye eşit? v eşittir f üssü t. O zaman u üssü eksi s, e üzeri eksi s t. Ve, v üssü düzeltiyorum bu, v üssüydü, öyle değil mi? v üssü eşittir f üssü t, yani v eşittir f t. Umarım, ilk seferinde yanlış söylemedim. Ama, ne demek istediğimi anlıyorsunuz. Bu u, bu da u ve bu v üssü. Eğer bu v üssüyse, iki tarafın terstürevini alırsak, v eşittir f t elde ederiz. Şimdi kısmi integral alalım. Laplace dönüşümü, yani bu, eşittir u v, e üzeri eksi s t çarpı v, f t, eksi bu integral. Bunun 0'dan sonsuza değerini bulmamız lazım. Eksi bu kısım. Yani, 0'dan sonsuza u üssü, eksi s e üzeri eksi s t çarpı v, v eşittir f t d t'nin integrali. Bakalım. Eksi eksi var. Bunları artı yapalım. Bu s sabit, yani dışarı alabiliriz. Yani bu eşittir 0'dan sonsuza, e üzeri eksi s t f t, artı s çarpı 0'dan sonsuza e üzeri eksi s t f t d t'nin integrali. Şimdi burada neyi görüyoruz? f t'nin Laplace dönüşümü, öyle değil mi? Bu kısmın değerini bulalım. Sonsuz için değerini bulmak istersek, sonsuza yaklaşırken, e üzeri eksi sonsuz, 0'a yaklaşır. f sonsuz işte bu ilginç bir soru. f sonsuz. Büyük olabilir, küçük bir sayıya yakınsayabilir, öyle değil mi? Bu 0'a yakınsıyor, onun için emin olamıyoruz. Bu, şunun 0'a yakınsadığından daha hızlı bir şekilde artarsa, bu ıraksar. Bunun yakınsama ve ıraksamasının detaylarına şimdi girmeyeceğim, ama kabataslak olarak şöyle diyebiliriz. f t, e üzeri eksi s t'nin küçülmesinden daha yavaş artarsa, bu 0'a yakınsar. Belki ileride bu ifadenin hangi koşullarda yakınsadığı hakkında daha ispatlı, daha detaylı tanımlar yaparız. Şimdilik f t'nin e üzeri eksi s t'nin azalmasından daha yavaş büyüdüğünü varsayalım. Veya, f t'nin ıraksamasının bunun yakınsamasından daha yavaş olduğunu söyleyelim. Bu durumda, bu ifade 0'a yaklaşır. Ve, bu ifadenin 0'daki değerini çıkaracağız. e üzeri 0 eşittir 1 çarpı f 0 yani sadece f 0 artı s çarpı bu, tanıma gore, f t'nin Laplace dönüşümüdür, demiştik. Bu, ilginç bir özellik. Sol taraftaki ifade neydi? f üssü t'nin Laplace dönüşümü. Baştan yazayım f üssü t'nin Laplace dönüşümü eşittir s çarpı f t'nin Laplace dönüşümü eksi f 0. Şimdi bunu biraz daha irdeleyelim. Bilinmesi faydalı bir şey. f'nin t'ye göre ikinci türevinin Laplace dönüşümü nedir? Burada örüntüyü uygulayabiliriz, öyle değil mi? s çarpı ikinci türevin terstürevinin, yani f üssü t'nin Laplace dönüşümü, pekala. Bu, bununla örtüşür, bu bir terstürev. Eksi f üssü 0, öyle değil mi? Peki, bunun Laplace dönüşümü nedir? s çarpı f üssü t, peki, bu nedir? Bu da şu, öyle değil mi? s çarpı f t'nin Laplace dönüşümü eksi f 0, öyle değil mi? Bunun yerine şunu koydum. Eksi f üssü 0. Buna göre, ikinci türevin Laplace dönüşümü eşittir s kare çarpı fonksiyonumuzun, f t'nin Laplace dönüşümü eksi s çarpı f 0 eksi f üssü 0. Sanıyorum, buradaki örüntüyü gördünüz. f'nin ikinci türevinin Laplace dönüşümü böyle. Ve sanıyorum, Laplace dönüşümünün neden yararlı olduğunu anlamaya başladınız. Türevleri, s ile çarpma işlemlerine çeviriyor. Ve, daha sonra göreceğimiz gibi, integral almayı da, s'ye bölmeye dönüştürüyor. İstediğiniz kadar türev alabilirsiniz ve s ile çarpmaya devam edebilirsiniz. Bu örüntüyü göreceksiniz. Bu arada yine zamanım bitti. f'nin üçüncü türevinin Laplace dönüşümünün neye eşit olduğunu bulmayı size bırakıcağım. Bir sonraki videoda görüşmek dileği ile.