Birim Adım Fonksiyonunun Laplace Dönüşümü

ve diferansiyel denklemleri öğrenmemizin sebebi gerçek fiziksel sistemleri modellemek istememiz şu ana kadar öğrendiklerimizi çözümlerde kullanabilmek adına öğrendik ve diferansiyel denklemlerle modelle bileceğimiz ve tanımlayabileceğimiz bir sürü sistemler gerçek dünyada her şeyin Buradaki gibi güzel ve sürekli fonksiyonlarla tanımı olmadığını da bildiğimize göre bundan sonraki birkaç videoda klasik kalkülüs Hatta kalkülüs öncesi derslerde bile karşımıza çıkmayacak süreksiz fonksiyonlar üzerinden gideceğiz Bunlardan ilki birim adım fonksiyondur Bu fonksiyonu küçük u harfi altın this C olarak gösteriyoruz ve tanımı da şu şekilde yazayım te altincisi yazdığımız değişkenden yani Buradaki gibi cevizden küçük olduğunda fonksiyon Sıfıra eşit olur ve TC den büyük ya da eşit olduğunda da 1E eşittir zaten birimi en son olarak tanımlanmasının sebebi de budur grafiğini de çizmemi isterseniz zaten çok da zor bir grafik değil ilk 80'ini buraya Biraz daha kalın bir çizgi olursa daha iyi olacak Ve bu da y ekseni olsun bu arada Laplace dönüşümü dediğimizde bizim için Tenin sıfırdan büyük diğerlerinin önemli olduğunu da söylemek istiyorum Neden diyecek olursanız bundan önceki videolarda lapras dönüşümünü bulmak için sıfırla sonsuz arasındaki integrali aldığımızı hatırlıyorsunuz değil mi Bu yüzden de ilk 80'inin sadece pozitif tarafını çiziyor bu şekilde düşünürsek fonksiyon sıfırdan C değeri ne kadar Sıfıra eşit olacak C noktasında ise bir atlama yapacak yüksek eşittir C noktasını da buraya işaret liyim fonksiyon X'in j e eşit ya da büyük değerleri içinde 1'e eşit olacak ve bundan sonra da bu şekilde devam çok az önce diferansiyel denklemlerin durumları modellemek için kullanıldığından bahsetmiştim Bu fonksiyonu gördükten sonra böyle bir fonksiyonun nasıl faydalı olacağını merak ediyor olabilirsiniz gerçek hayatta zaman zaman bir şey Bu noktadan bu noktaya taşıyan bir fonksiyona ihtiyacımız olabilir bu noktada Tabii ki de hiçbir şeyin böylesine bir hareketi yapamayacağını biliyoruz ama elektriksel ya da mekanik bir sistemde buna benzeyen bir hareketle karşılaşabiliriz Evet bu şekilde bir şey söz konusu olabilir Ve bu fonksiyonda gerçek hayatta bu şekilde hareket eden bir şey için çok iyi bir Analitik yaklaşım verebilir diferensiyel denklemlerin Analitik çözümleri durumları modelleme müze yardımcı olur Bunların Olanı biteni kusursuz bir şekilde tanımlayacak larında Göreceğiz ama Olan biteni anlamamıza Yardımcı olacağını da bilmelisiniz zaman zaman kusursuz bir tanımda elde edebiliriz ama şimdilik bu muhabbeti bırak değil onları silelim Ve asıl konumuza geri dönelim ilk sorum bunun istediğim şeyi tanımlama the durumda Yani bundan daha havalı birim ya da adım fonksiyon tanımlamak istediğimde ne yapabileceğim Örneğin buna benzeyen bir şey kurmak istediğini düşünmedim bu ye Bu da burada ilk sekseni olsun evet istediğim fonksiyonun farklı bir renkle çizim mesela pi'ye gelene kadar ikiye piden sonsuza kadar da Sıfıra eşit olan bir fonksiyon olduğunu düşünelim buradaki birim adım fonksiyonu ile bunu nasıl elde edebilirim dersiniz bilim adım fonksiyonu başlangıçta sıfırdı bunu yani bilim adım fonksiyonunu 2 eksi birim adım fonksiyonu olarak piden başlatırsam ne olur evet fonksiyonu bu şekilde tanımlar Sam Sizce bu işe yarar mı bu tanıma göre bilim Bu fonksiyonu pi'ye geçince 1'e eşit olur ama bir Sıfıra eşit olmasını istiyoruz değil mi o halde iki -2 yazabilirim ve artık bu şekilde işe yaraması lazım birden küçük değerler içinde yani tepeden küçük olduğunda bu Sıfıra eşit olur öyle değil mi ve bu da fonksiyonun ikiye eşit olmasını sağlar işte böyle de eşittir bir yere geldiğimizde ki bu arada bu örnekte kipi Yukardaki C değişkenine eşit Evet bu noktaya geldiğimizde birim adım fonksiyonu biri eşit oluyor 2 ile çarpınca da iki eksi 2'den 0 elde ediyoruz buraya kadar harika Ama bunun bir noktada yeniden artmasını istersek İşte o zaman ne olacak bunun gibi bunun gibi bir saniye önce Şurayı eksenle aynı renge boyayayım diyelim ki fonksiyonun bir noktada yeniden atlamasını istiyoruz Evet aynen ve buradaki değerde mesela 2pi olsun fonksiyonun iki piden yeniden atlama yapmasını istediğimizi düşünüyoruz bunu nasıl başarabiliriz atlama yapacağı değer herhangi bir değer olabilir ama şimdilik bununda iki olduğunu ele alalım buraya bu noktaya kadar Sıfıra eşit olan iki pide atlama yapan başka bir birim adım fonksiyonu ekleyebiliriz öyle değil Bu durumda C2 pi'ye eşit olur birim adım fonksiyonu muz bu ve değerinin iki eşit olmasını istiyoruz bu kendi kendine biri atlıyordu iki ile çarparsak da ikiye atlar işte böyle Şimdi de Bu fonksiyonu elde ettik gördüğünüz gibi birim adım fonksiyonunun farklı doğrusal kombinasyonları ile bu şekilde farklı seviyelere inen ve çıkan fonksiyonlar elde edebiliyoruz Şimdi bundan biraz daha havalı bir şey yapmak istediğimizi düşünelim elimizde ben buna benzeyen bir fonksiyon olduğunu düşünelim hemen çiziyorum daha düzgün olursa daha iyi olacak efte fonksiyonu buraya da ikisi yazın bir saniye neden hissediyorum ki bunun te ekseni yani zaman tanım kümesi olması gerekiyor öyle değil mi bu durumda bu eksende evde Eksen olur Evet hemen rastgele bir efte çizelim Öf fonksiyonun bu şekilde değişik bir fonksiyon olduğunu düşünelim bunu nefte olduğunu da not ediyorum şimdi elimizdeki fiziksel modelinde bunu değilde farklı bir şey yaptığını varsayalım elimizdeki model bir değere kadar Sıfıra eşit buradaki C değeri ne kadar Sıfıra eşit olsun WC den sonra da evt Eye eşit olsun şöyle çiziyorum te eşittir CD buradaki efte fonksiyonu devreye girecek burada o geceye kadar 0 C den sonra da ev te eşit olan bir model bunun ev Canon ötelenmiş bir versiyonu olduğunu da söyleyebiliriz değil mi Mehmet evt eyice kadar otel edersek bunu elde ederiz Peki şimdi bana yeşil fonksiyonun ötelenmiş bir hali olan ama C den önce Sıfıra eşit olan Bu fonksiyonu nasıl tanımlayabileceğimiz i söyleyebilir misiniz yeşil fonksiyon devam de edebilirdi Örneğin bu şekilde de olabilirdi ama biz bu fonksiyonu Bu noktadan bu noktaya öte ledik VCD öncesinde Sıfıra eşit dedik Şimdi bunu nasıl elde edebiliriz C12 ya da kalkülüs öncesi derslerinizde öğrendiğiniz gibi bir fonksiyonu ce birim sağ ötelemek için T yerine te eksi C yazarız öyle değil o halde bu evde eksi C fonksiyonudur yazıyorum evde eksi Jack bunun doğru olduğundan emin olmak için bu birlikte ten İnce'ye eşit olması durumunda ne olacağına bakarım TC eşit olduğunda Burası C eksici eden Sıfıra eşit olur t.j. eşit olduğunda fonksiyonun değeri yeşil fonksiyonun 0da aldığı değere eşit olmalı mantıklı değil ceden Biraz daha öteye gidersek mesela c Artı Bir diyelim tdc yerine c Artı Bir koyarsak buradan yani c Artı Bir eksici eden bir elde ederiz ve gördüğünüz gibi ev Bir de gerçekten buna eş son derece mantıklı buradan bir bilim ilerlediğimizde Bu değerin aynısını elde ettiğimize göre öteleme işe yaramış olmalı bu noktada fonksiyonu ötelemek demin yani fonksiyonun bu kısmında bu şekilde ötelenmesi anlamına geldiğini hatırlatmak istiyor Şuraya da çizim Evet fonksiyonu bu şekilde devam ettire biliriz ama biz fonksiyonun CD önce Sıfıra eşit olmasını istiyorduk öyle değil Peki bunu nasıl yapacağız Ve tabii ki de videonun başından beri bahsettiğimiz birim adım fonksiyonunu kullanacağız bilim adım fonksiyonunu bununla çarparsa ne olur dersin hemen yazıyorum yeni fonksiyon C ye kadar birim adım fonksiyon tenine fte eksi c ile çarpımı olursa ne olur Bakın C ye gelene kadar yani ten inceden küçük değerlerinde birim adım fonksiyonu Sıfıra eşit ve bu Sıfıra eşit olacağı için bu ne olursa olsun sıfırla çarpılmış Sıfıra eşit olacağından fonksiyonda Sıfıra eşit olur C ye geldiğimizde ise birim adım fonksiyonu 1'e eşit olacağından Bu noktadan sonra Bu fonksiyonu elde etmiş olacağız Bu da fonksiyonun istediğimiz gibi davranması anlamına gelir ve öteleme de başarılı olmuş olur yeşil fonksiyonu öteleyen şey de buraya te yerine Texas ne yazmamız bu şekilde istediğimiz fonksiyonu işimize yarayacak şekilde kurabiliriz bundan sonra bir de bununla Plas dönüşümüne bakacağız ve bunu görünce bu fonksiyonun aslında ne kadar işe yarar bir fonksiyon olduğunu daha açık bir şekilde anlayacağız şu ana kadar bilim adım fonksiyonunu ne olduğunu ve bu şekilde kurulduğunda fonksiyonun bir noktadan önce 0 değerini almasını ve ötelenmesi ni sağladığını da görülür bunun yararlı bir fonksiyon olduğunu söyledikten sonra lapras dönüşümünün de lapras dönüşüm tablosu eklenmesi gerektiğini düşünüyorum ve Hadi O Zaman C değeri ne kadar olan birim adım fonksiyonunun lapras dönüşümünü alalım Bu videoda genel ifadeler kullanacağım ve bundan sonra da uygulamasını görebileceğiniz örnekler üzerinden gideceğiz ama isterseniz önce lapras dönüşümünü neye eşit olduğunu bir bulalım herhangi bir şeyin ablas dönüşümü Ben Buna dayanarak sıfırdan Sonsuzluğa e üzeri eksi Este çarpı fonksiyon de t'nin belirli integralini eşittir kullanacağımız fonksiyon bilim adamı fonksiyonu yani alt indis c t çarpı evce eksi te-bd yazayım Bunlar çok genel ifadeler ve bu da çok zor bir integral olarak görünüyor ama belki de yerine koyma metodunu kullanarak daha basit bir şekle getirebiliriz çalışması kolay olacak bir değişken seçin şu ana kadar iksi Kullanmadığımız a göre Evet ikisi kullanabiliriz Sizce de ise çalışma diğerlerine göre çok daha eğlenceli değil mi matematik derslerimizin çoğunda Latin alfabesinden bazı harfleri seçerler ama ben bunun zaten Zor olan ifadeleri daha da zorlaştırdığını düşünüyorum o çılgın Latin harfleri yerine eksik kullanmak çok daha kolay X'in ve eksi j e eşit olduğunu düşünün İki tarafa C eklersek t3x artı J eşit olur bunun bir de türevini alalım ya da diferansiyeli ne diyeyim ilk siteye göre türevi C sabit olduğu içine 1E eşittir iki tarafı de TL çarpınca da de 2'sinde Teye eşit olduğu anlamına gelir Peki şimdi bu yer değiştirmeyi buraya uygularsak ne olur Instagram th10 Dante eşittir sonsuza olarak belirlenmiştir Öyle değil mi peki te0 eşit olduğunda ilk seneye eşit olur eksi C ye aslına bakarsanız bundan önce başka bir şey yapmamız lazım Buraya gelmeden bunu sadeleştir ip sadeleştir etmeyeceğimizi Bir bakalım demek istediğim daha yer değiştirmeyi bile yapmadan orjinal integrale bir göz atalım bunun sıfırla sonsuz arasındaki integralini alırsak bu fonksiyon ne olur sıfır Olur öyle değil bir Bu fonksiyonu bu şekilde WC gelene kadar bu ifade Sıfıra eşit Evet C gelene kadar birim adım fonksiyonun Sıfıra eşit olduğunu biliyoruz başka bir değişle C ye gelene kadar her şeyin sıfırlandığını söyleyebiliriz Kısacası te eşittir sıfırla te eşittir sonsuz arasında integral almamızı gerek yok hemen yazıyorum integrali ite eşittir C illete eşittir sonsuz arasında alabiliriz Ee üzeri eksi estec çarpı u6 indis T çarpı efte eksi cdt ve bu noktadan sonra da birim adım fonksiyonunun pek bir önemi kalmıyor teceden küçükken sıfırdı Ama artık Jade en büyük diğerleri hesaba katmamız gerektiği için birim adım fonksiyonu 1'e eşit olacak Bunu iyice anladığınızdan emin olmak istiyorum Burada ne yaptım a 100 dıce oldu yer değiştirme uygularken Bunu neden böyle yaptığımı anlayacaksınız ama bunu şimdiden uygulamanın işleri kolaylaştırdığını da göreceksiniz bilim adım fonksiyonu ce gelmeden bu ifadeyi sıfırlayacak integralinin fonksiyonun yani bilim adamı fonksiyon çarpı bunun eğrinin altında kalan alan olduğunu da hatırlıyorsunuz değil mi ve bu da C ye gelene kadar Sıfıra eşit ceyden sonra ise ve üzeri eksi Este ile evde eksiğinin çarpımına eşit olacak ve burada gördüğümüz şekilde bir nevi çılgınca davranmaya başlayacak eğlenin altında kalan alanı bulmak için C den önce olan biteni görmezden gelebiliriz yani Tenin sıfırla sonsuz arasındaki değerleri yerine C den sonsuza kadar olan değerlerini hesaba katabiliriz Ne de olsa te eşittir C den önce elimizde herhangi bir alan yok Evet bunu değiştirerek Aslında bunu elde etmek istemiştim Sanırım şimdi ve anlaşılır oldu Buna ek olarak söz konusu olan Aralık'ta birim adım fonksiyonunun bir eşit olduğunu da bildiğimize göre birim adım fonksiyonunu Görmezden de gelebiliriz değeri bir eşit olacağı için integrali mestte eşittir c ile te eşittir sonsuz arasında Ee üzeri eksi Este çarpı Evde eksik CD t'nin belirli integrali olarak sadeleşmiş olur Bunun birazdan daha da sadece içeceğini göreceğiz bunu yer değiştirmeden sonra da yapabilirdim ama o noktadan sonra nedenini açıklamak Şu an olduğu kadar kolay olmazdı O halde artık bunu Yani iki çeşittir te eksi C yer değiştirmesini uygulayabiliriz yeşile yazayım t.c.k. nxn eşit olur sıfır öyle değil Çünkü jaxy c0 eder ve git E sonsuza eşit olduğunda sonsuzdan bir sabit çıkardığımızda da sonsuz elde edeceğimiz için üst sınır değişmeyecek bu sonsuz olarak kalacak ve üzeri eksi Este yerine Bunu yazacağım ilk sarartıcı çağırdı evke eksi cenix eşit olduğunu biliyoruz O halde buraya da eksi yazabilir amwayde Tenin yerine de deex aynen Buradaki gibi Hadi gelin baştan yazalım sıfırdan sonsuza bu Parantezi açalım e üzeri eksi e-sx eksi esce çarpı e-sx dexun bedirli integrand buradaki e üzeri eksi escey integralini dışına çıkarabiliriz Çünkü bunların x herhangi bir bağlantısı yok yani İlk size göre sabit değerler Evet e üzeri eksi sereceği dışarıya alacağım ama Kafanızı çok karıştırmamak adınla sıfırdan sonsuza şöyle yazayım ve üzeri eksi e-sx çarpı e üzeri e o eski tabanlar aynı olduğuna göre bu üstten ifadeyi bu şekilde ifade edebileceğimizi biliyorsunuz değil mi hafif de ikisi de yazalım az önce de söylediğim gibi bu ise göre sabit olduğu için dışarıya alabilirim e üzeri eksi esce çarpı sıfırdan Sonsuzluğa e üzeri eksi eseks çarpı efex değecekse Bu arada bunun Atlas dönüşümünü almaya çalıştığımız ve tüm bunları da bu yüzden yaptığımızı hatırlıyorsunuz değil mi C ye kadar olan birim adım fonksiyonun C ye kadar sıfır sonra da bir olan bilim adım fonksiyonundan bahsediyorum çarpı ötelenmiş bir fonksiyon olan evde eksi C fonksiyonunun lapras dönüşümünü almaya çalışıyoruz bunları yaptıktan sonra da bunun buna eşit olduğunu bulduk bir yer değiştirme ve bazı sadeleştirmeler yaptık ve sonuç olarak Ee üzeri eksi eskiye çarpısı da sonsuz arasında e üzeri eksi eseks çarpı efix değilsin belirli integralini elde ettik sanırım grafik tabletim de bir sorun var yazmakta biraz zorlanıyorum ifadenin bu kısmının ilginç olduğunu düşünüyor musunuz bu nedir Evet e fixin ablası dönüşümü Öyle değil mi Hemen not edeyim köfte ya da efix İnna Plas dönüşümü sıfırdan Sonsuzluğa üzeri eksi Este çarpı fonksiyonun Yani evde de Tenin belirli integral i n eşittir Yani bunu Bunların aynı ifadeler olduklarının farkındasınız değil mi t yerine ise kullandık ama bunlar birbirinin aynısı bunun te olması gerekiyor e üzeri eksi Ester çarpı evde de bunu da ev teninle ablas dönüşümü olarak yasa bilirdik yani istesem unu sıfırdan sonsuza kadar e üzere bu sierz ye çarpı ef-7 yeni belirli integrali olarak da yazabilirim bu belirli bir integral olduğu için buraya her şey yazabilirim yerler Ne de olsa kaybolacaklar bunu görmüştük hatırlıyorsunuz değil mi geriye sadece esli bir ifade kalacak Evet Sonuç olarak bunu nesin bir fonksiyonuna eşit olacağını biliyoruz İlginç değil mi bu öfkenin Atlas dönüşümünün bir ölçeklendirme katsayısı ile çarpımı o halde yazıyorum birim adım fonksiyonu ile teighax icenin bir fonksiyonun çarpımının lapras dönüşümünü ne üzeri eksi esce bu c ile buradaki C aynı celer çarpı eften İnna Plas dönüşümü bu tablete Ne olduğunu gerçekten de bilmiyorum Evet heftenin lapras dönüşümün eşittir Burası pek anlaşılır olmadı e üzeri eksi Es c ç O ev Tenin lapras dönüşümü sonucumuz bu be ki ne anlama geliyor güzelliğini görüyorsunuz değil mi Evet bu ne anlama geliyor olabilir dersiniz ya da bununla ne yapabiliriz mesela piden başlayan birim adım vektörü Tenin naplast dönüşümünü bulmak istediğimizi düşünelim bunu bir de iyi bildiğimiz mesela sinüste eksi pi ile çarpalım bunun bir öteleme yaptığımız anlamına geldiğini biliyorsunuz değil mi yine yine yazmamaya başladı videoyu bir saniyeliğine durduracağım Evet bunu yaptığım için özür dilerim ama gerçekten de zorlanmaya başlamıştım Az önce ispatını yaptığımız sonucu bir kere daha yazayım birim adım fonksiyonunun cd1 değerini alan birim adım fonksiyonunun sağa doğru cebirin ötelenmiş bir başka fonksiyonla çarpımı a class dönüşümünü ne üzeri eksi eskiye çarpı ev Tenin yani ötelenmiş fonksiyonuna Plas dönüşümünü eşit olduğunu gördük Evet videoyu durdurmadan önce bunu görmüştük Bu Eğer size Fransızca gibi geldiyse hemen bir uygulamasını yapalım Az önce kalemim bozulmadan bunu yazıyordum Pide bir değerini alan birim adım fonksiyonunun prim sağ ötelenmiş siniz fonksiyonu ile çarpımının lapras dönüşümünü ne üzeri eksi C çarpı SRC nin pi'ye eşit olduğunu söyledik O halde bunu e üzeri eksi pi çarpıp s olarak yazayım çarpı ötelenmiş fonksiyon yani sinüsten inlab las dönüşüm sinüsten İnna plus dönüşümünün ne eşit olduğunu biliyoruz Öyle değil mi bir bölü eskare artı bir bu durumda bu videodan önce karşıla en son derece göz korkutucu bir ifade olduğunu düşüneceğiniz bu ifadenin naplast dönüşümü bununla bunun çarpımına eşit Ey üzeri eksi pi çarpı Es çarpı bu isterseniz e üzeri eksi pi çarpı Es bölümü eskare artı bir de yazabilirim Ondan sonraki videoda birkaç örnek daha yapacağız vel ablas dünyasıyla TV senin tanım kümesiyle zaman tanım kümesi arasında gidip geleceğiz ayrıca bunun farklı Laplace dönüşümleri yapabilmek ya da ters çevirmek için ne kadar faydalı bir sonuç olduğunu da Göstereceğim