Karakteristik Denklemlerin Karmaşık Kökleri 1

Önceki videolarda, sabit katsayılı doğrusal homojen diferansiyel denklemleri yani A çarpı ikinci türev artı B çarpı birinci türev artı C eşittir 0 cinsinden denklemleri öğrenmiştik. Bu diferansiyel denklemin karakteristik denkleminin A r kare artı B r artı C eşittir 0 olduğunu görmüştük. Bu karakteristik denklemin iki reel kökü olabilir. Şöyle yazayım. İki farklı reel kök olabilir, r 1 ve r 2. Bu konuyu hatırlamıyorsanız bu arada önceki videolara bir bakmanızı tavsiye edeceğim. Buna göre, diferansiyel denklemin genel çözümü y eşittir sabit çarpı e üzeri ilk kök x, çarpı x artı başka bir sabit çarpı e üzeri ikinci kök çarpı x. Bunu önceki birkaç videoda kullandık. Örnekler de yaptık. Şimdi size sorum Ya, karakteristik denklemin reel kökü olmazsa? Kökleri karmaşık sayı olursa? Şimdi biraz tekrar olacak ama bunun anlamı neydi? Bunun köklerini bulmam gerekirse ve çarpanlarına ayırmaya üşenirsem, üşenmişsem kuadratik formülü kullanabilirim, kuadratik formül. Karakteristik denklemin köklerini şöyle bulurum: Eksi B artı eksi karekök B kare eksi 4 A C ve bunun tamamı, bölü 2 A. O zaman, reel olmayan kökten kastım nedir? Buradaki ifade yani B kare eksi 4 A C negatif bir sayıysa, negatif sayının karekökünü almak zorunda kalırım ve bu da bize imajiner bir sayı verir. İfadenin tamamı ise, karmaşık sayı olur. Sayının bir reel kısmı, bir de imajiner kısmı olacak. Bu iki kök birbirinin eşleniği olacak, eşlenik. Reel ve imajiner kısmı baştan yazabiliriz. Kökler, eksi B bölü 2 A artı eksi karekök B kare eksi 4 A C, bölü 2 A bu şekilde yazılabilir. B kare eksi 4 A C 0'dan küçükse, bu sayı imajiner olur. Bu durumda, köklerin nasıl olacağını düşünelim ve birkaç soru çözelim. Kökler reel sayı olmayacak. Kökleri, birbirinin eşleniği iki karmaşık sayı olarak yazabiliriz. Karakteristik denklemin karmaşık kökleri için lambda artı eksi bir imajiner sayı, mu yazalım mu bu da mu sabiti. Sadece bir sabit, böyle havalı konuşmaya falan çalışmıyorum. Diferansiyel denklem kitaplarının çoğunda bu harfler kullanılıyor. mu çarpı i. Bunlar köklerimiz şimdi öyle değil mi? Lambda artı mu i ve lambda eksi mu i. Eğer, B kare eksi 4 A C 0'dan küçükse, iki kök böyle olur. Şimdi bu kökleri alıp genel çözümümüze koyalım. Öğrendiğimiz üzere genel çözüm şöyleydi y eşittir c 1 çarpı e üzeri ilk kök artılı kökü alalım, yani lambda artı mu i. Çarpı x artı c 2 çarpı e üzeri ikinci kök lambda eksi mu i, çarpı x. Şimdi biraz sadeleştirme yapalım. x'leri dağıtalım. y eşittir c 1 e üzeri lambda x artı mu x artı mu x i artı c 2 e üzeri lambda x eksi mu x i. İki terimdeki x'leri dağıttım. Şimdi ne yapabiliriz? Üsleri toplamakla, şu, aynı şey y eşittir c 1 e üzeri lambda x çarpı e üzeri mu x i. Öyle değil mi? Tabanlar aynıysa ve çarpıyorsak, üsleri toplarız. Yani, bu, şununla aynı. Artı c 2 çarpı e üzeri lambda x çarpı e üzeri eksi mu x i. İki terimde de e üzeri lambda x olduğu için bunu dışarı alabiliriz. y eşittir e üzeri lambda x çarpı c 1 e üzeri mu x i artı c 2 çarpı e üzeri eksi mu x i. Peki şimdi ne yapabiliriz? İşte burası eğlenceli. Analiz videolarını seyrettiyseniz özellikle fonksiyonlara serilerle yakınsama videolarında, metafiziksel açıdan matematiğin en inanılmaz sonucuna ulaştığımızı hatırlayacaksınız. Şimdi de bu sonucu kullanacağız ve sonucun faydasını göreceksiniz. Burada e üzeri bir şey çarpı i olan iki terim var. Euler'ın formülünü öğrenmiştik, neydi? e üzeri i theta veya e üzeri i x eşittir kosinüs x artı i sinüs x. Ve bu formülün inanılmaz tarafı şuydu: Buraya eksi 1 koyarsak e üzeri düzeltiyorum buraya Pi koyarsak e üzeri i Pi eşittir eksi 1di, öyle değil mi? Çünkü sinüs Pi eşittir 0. Ki daha önceden demiştim bu inanılmaz bir eşitlik. O zaman e üzeri i 2 Pi eşittir 1, diyebiliriz. Ki bu da yine inanılmaz bir eşitlik. Bir denklemde matematiğin tüm temel sayılarını görüyoruz. Neyse, soruya dönelim. Euler'ın formülü, aslında, bir tanım. Bu tanımın mantığı da e üzeri x'in Maclaurin serisinden geliyor. e üzeri x'in Maclaurin serisi, gerçekten de kosinüs x artı i çarpı sinüs x'e benziyor. Neyse, şimdi bu konuya girmeyelim. Zaten bu konuda yeterince video hazırladık daha önce 6 7 tane var. Şimdi, bu formülü kullanıp şu ifadeyi sadeleştirelim. Bunu şöyle yazalım. y eşittir e üzeri lambda x birinciyi alalım c 1. e üzeri mu x i. x yerine mu x var. Bu eşittir, i'nin önündeki ifadenin kosinüsü, yani kosinüs mu x artı i sinüs mu x. Artı c çarpı, c 2 çarpı kosinüs eksi mu x artı i sinüs eksi mu x. Şimdi daha da sadeleştirmeye çalışalım. c'leri dağıtalım ama bu arada şimdi fark ettim yine çok uzatmışım o yüzden bir sonraki video da devam edeceğim. Yakında görüşürüz.