Karakteristik Denklemlerin Tekrarlayan Kökleri 1

Diyelim ki, şöyle bir ikinci mertebeden bir diferansiyel denklemimiz var.y'nin ikinci türevi artı 4 çarpı birinci türev artı 4 y eşittir 0. Bu diferansiyel denklemin genel çözümünü bulmamız isteniyor.Önce, karakteristik denklemi buluruz. r kare artı 4 r artı 4 eşittir 0, Bunu çarpanlarına ayırmak kolay.Kuadratik formüle ihtiyacımız yok. r artı 2 çarpı r artı 2. Şimdi daha önceden görmediğimiz bir durumla karşı karşıyayız. Karakteristik denklemin iki kökü aynı sayı, r eşittir eksi 2. Tek kökümüz veya tekrar eden kökümüz var diyebiliriz. Nasıl söylerseniz söyleyin, karakteristik denklemi sağlayan tek r değeri var. Tamam, diyebilirsiniz. y eşittir bir sabit çarpı e üzeri eksi 2 x. Size cevabım, evet, bu bir çözüm. İnanmıyorsanız, bu çözümü deneyebilirsiniz. Ama, genel çözüm bu değil. Peki neden böyle diyorum? Çünkü bu, ikinci mertebeden bir diferansiyel denklem. Eğer bir tekil çözüm istenseydi, iki başlangıç değeri verilmesi gerekirdi. Şimdiye kadar iki başlangıç değeri kullandık. y 0'ın neye eşit olduğu ve y üssü 0'ın neye eşit olduğu.y 5'i de verebilirler, fark etmez. Ama genelde, ikinci mertebeden bir diferansiyel denklem verildiğinde, iki başlangıç değeri de verilmelidir. Şimdi, bu çözümün genel çözüm olmamasının nedeni, bir başlangıç değerini kullandığımızda c'yi bulmamız, öyle değil mi? Cevabı bulabilirsiniz. c'yi bulabilirsiniz. O zaman, ikinci başlangıç değerini kullanmamış olursunuz. Aslında, bir özel durum dışında, birinci başlangıç değerinin verdiği c değeri, ikinci başlangıç değerini sağlamaz. Bunu deneyebilirsiniz.y 0 eşittir A ve y üssü 0 eşittir 5 A diyebiliriz. Bakalım, bunlar işe yarayacak mı? y 0 A ise, bu demektir ki, A eşittir c çarpı e üzeri eksi 2 çarpı 0.Yani, e üzeri 0. c eşittir A, öyle değil mi? Yalnızca bu birinci başlangıç değeri olsaydı, tekil çözümüm, y eşittir A çarpı e üzeri eksi 2 x olurdu. Şimdi bakalım, bu tekil çözüm ikinci başlangıç değerini sağlıyor mu? Bunun türevi nedir? y üssü eşittir eksi 2 A e üzeri eksi 2 x. Ve, burada şöyle diyor: 5 A eşittir eksi 2 A çarpı e üzeri eksi 2 çarpı 0, yani e üzeri 0. e üzeri 0 eşittir 1. 5 A eşittir eksi 2 A, ki bunun doğru olmadığını biliyoruz Yani bu çözüm, sadece bir başlangıç değerini sağlıyor. Eğer şansımız yaver giderse, iki başlangıç değerini sağlamalı. Sanıyorum, bunun neden genel çözüm olmadığını size bir şekilde gösterebildim. Şurayı biraz silelim. Peki şimdi ne yapacağız? Mertebe düşürme tekniği kullanabiliriz. Yapmamız gereken, ikinci bir çözüm tahmininde bulunmak. Bu sabit katsayılı doğrusal diferansiyel denklemleri ilk gördüğümüzde, e üzeri r x'in iyi bir tahmin olduğunu düşünmüştük.Peki neden? Çünkü e'nin türevleri hep orijinal fonksiyonun katları olur, o nedenle e üzeri r x'i kullanmıştık. Şimdi, ikinci çözümü ararken, aynı tahmini kullanalım. Ve genellemek için, ikinci çözüm tahminimizi, g diye adlandırıyorum, x cinsinden bir fonksiyon çarpı c çarpı e üzeri eksi 2 x diyebilirim. c, fonksiyonun içinde de olabilir. Çözümü elimizden geldiğince genel tutalım. Bunun bir çözüm olduğunu varsayıp, diferansiyel denkleme koyalım ve denklemi sağlayan v'yi bulmaya çalışalım.Ama önce, birinci ve ikinci türevleri alalım.g'nin birinci türevi çarpım kuralı.v x yazmaya gerek yok, v'nin sabit olmadığını, fonksiyon olduğunu biliyorum. Çarpım kuralına göre, birinci ifadenin türevi, v üssü, çarpı ikinci ifade, e üzeri eksi 2 x, artı birinci ifade çarpı ikinci ifadenin türevi. Yani, eksi 2 çarpı e üzeri eksi 2 x. Daha düzgün yazmak istersek, g üssü eşittir v üssü e üzeri eksi 2 x eksi 2 v , e üzeri eksi 2 x. Şimdi ikinci türevi almamız lazım.İkinci türev evet çarpım kuralını iki kez uygulayacağız birinci ifadenin türevi. v'nin ikinci türevi e üzeri eksi 2 x, eksi 2 v üssü e üzeri eksi 2 x. Çarpım kuralını uyguladık.İkinci ifadenin türevi ise birincinin türevi, v üssü eksi 2 v üssü e üzeri 2 x artı 4 v e üzeri 2 x. Evet umarım, bir dikkatsizlik yapmadım. Bunu biraz sadeleştirelim. g'nin ikinci türevi eşittir, v'nin ikinci türevi e üzeri eksi 2 x eksi 2 v üssü hımm bir saniye eksi 4, düzeltiyorum, eksi 2 eksi 2 var eksi 4 v üssü e üzeri eksi 2 x artı 4 v e üzeri eksi 2 x. Bunu denkleme koymadan önce, şimdi bir gözlemde bulunalım.Burada ki cebir işlemlerini kolaylaştıracak bir gözlem. g'nin e üzeri eksi 2 x çarpı bir şey olduğuna dikkat edin.g üssünde e üzeri eksi 2 x'i dışarı alabiliriz. g'nin ikinci türevinde de e üzeri eksi 2 x'i dışarı alabiliriz.Bunları dışarı alalım. Yani, şöyle yazabiliriz: g'nin ikinci türevi eşittir e üzeri eksi 2 x çarpı v'nin ikinci türevi e üzeri eksi 2 x terimlerini yok edelim. Şimdi, v'nin ikinci türevi eksi 4 v üssü artı 4 v kalır, öyle değil mi? Bunu dağıtırsam ikinci türevi elde ederim, yani bu. Artı 4 çarpı birinci türev. Yine, e üzeri eksi 2 x parantezine alırım. Yani, artı 4 çarpı bu. Artı 4 v üssü eksi 8 v, öyle değil mi? e üzeri eksi 2 x'i yine dışarı almış oldum, Artı 4 çarpı y. e üzeri eksi 2 x'i dışarı aldık yani, artı 4 çarpı v. Böyle yapmasaydık, e üzeri eksi 2 x yazmaya devam edecektik ve bu bizim hata yapmamıza bir dikkatsizlik yapmamıza sebep olabilirdi.Neyse, ikinci türevi, birinci türevi ve g'yi diferansiyel denkleme koyuyoruz. Bunun 0'a eşit olması gerektiğini biliyoruz. Bakalım, bunu biraz daha sadeleştirebilecek miyiz?Ve sonra da, v'yi bulalım. Bazı şeyler şimdiden gözüme çarpmayor burada. Artı 4 v artı 4 v 8v eder, birde eksi 8v var, öyle değil mi? Artı 4 eksi 8 artı 4, bunlar birbirini götürürler Artı 8 eksi 8 olur, birbirini götürürler. Ayrıca, eksi 4 v üssü artı 4 v üssü var. Bunlarda sadeleşir. Bayağı sadeleştirdik. Ne kaldı e üzeri eksi 2 x çarpı v'nin x'e göre ikinci türevi kaldı, bu eşittir 0. Ama bunun 0 olamayacağını biliyoruz. Böylece, bu ifadenin 0'a eşit olması gerektiğini bulmuş olduk. Böylece, ikinci mertebeden ayrılabilir bir diferansiyel denklem elde ettik. v'nin x'e göre ikinci türevini 0 olarak bulduk. Şimdi denklemin iki tarafının iki kere türevini almam gerekiyor. Bir kere terstürev alınca ne elde ediyoruz? v üssü x eşittir, c 1 diyelim. İki tarafın terstürevini alırsak, v x eşittir c 1 x artı c 2 elde ederiz, öyle değil mi? Şimdi hatırlayalım, tahminimiz neydi? Tahminimiz, genel çözümümüzün bir v fonksiyonu çarpı bulduğumuz birinci çözüm, e üzeri eksi 2 x, olduğu yönündeydi. Bu tahmini yerine koyduğumuzda, v'yi bulabildik. v'nin buna eşit olduğunu bulduk. Bu ilginç.Peki g fonksiyonu neye eşit?Artık bir tahmin değil, işe yaradığını gösterdik. g, yani çözümümüz, eşittir v x çarpı e üzeri eksi 2 x. Bu eşittir, c 1 x artı c 2 e üzeri eksi 2 x. c 1 x e üzeri eksi 2 x artı c 2 e üzeri eksi 2 x. Şimdi, gerçekten genel bir çözümümüz var. İki sabitimiz var. Bu demektir ki, iki başlangıç değerini sağlamamız gerekecek. Eğer bir örüntü arıyorsanız, işte örüntü burada. Karakteristik denklemde tekrarlayan bir kök varsa, genel çözüm şöyle olacak. Kökü iki kere kullanacaksınız, birinin önünde x çarpanı olacak. Bu örüntü bu tip ikinci mertebeden homojen sabit katsayılı doğrusal denklemlerde her zaman işe yarar.Bir sonraki videoda görüşmek üzere.