İkinci Dereceden Doğrusal Homojen Diferansiyel Denklemler 2

İkinci mertebeden homojen doğrusal diferansiyel denklemler hakkında teorik olarak konuştuk. g çözüm ise, sabit çarpı g de çözümdür, dedik. çözümdür, dedik. Veya, g ve h çözüm ise, g artı h de g artı h da çözümdür, dedik. Şimdi soru çözelim, çünkü bu aşamada soru çözmenin kafanızı karıştırmak yerine, öğrenmenize yardımcı olacağını düşünüyorum. Şöyle bir diferansiyel denklemimiz var: y'nin x'e göre ikinci türevi artı 5 çarpı y'nin birinci türevi artı 6 çarpı y eşittir 0. Yani, öyle bir y bulmalıyız ki, 1 çarpı ikinci türevi artı 5 çarpı birinci türevi artı 6 çarpı kendisi, 0'a eşit olmalı. Bu fonksiyonun nasıl bir fonksiyon olabileceğini düşünelim. Genelde, bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerini aldığımda, tamamen farklı şeyler elde ederim. Örneğin, y eşittir x kare ise, y üssü 2 x olur, y'nin ikinci türevi de 2 olur. Bu ifadeleri topladığımızda, x'ler nasıl nasıl olur da sadeleşip 0 sonucunu verir, diye sorabilirsiniz. Şimdi düşünelim: Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü türevlerini aldığımızda, aynı fonksiyonu veren, bir fonksiyon biliyor muyuz? Belki, türev aldıkça, sadece, ifadenin önündeki sabit değişiyor. Eğer videolarımdan birçoğunu seyrettiyseniz, bu fonksiyonun benim düşünceme kanaatime matematikteki en inanılmaz fonksiyon olduğunu anlamışsınızdır. Yani, e üzeri x fonksiyonu.Belki burada e üzeri x işe yaramaz, ama deneyebilirsiniz, değil mı? e üzeri x denklemi sağlamayacak, öyle değil mi? e üzeri x artı 5 e üzeri x artı 6 e üzeri x, 0'a eşit değil. O zaman, belki de y eşittir e üzeri bir r sabiti çarpı x. Şimdi şöyle bir varsayımda bulunalım: y eşittir e üzeri r x. e üzeri r x. Bu ifadeyi yerine koyalım ve denklemi sağlayan bir r değeri bulalım. Eğer r değeri veya değerleri bulabilirsek, denklemi çözmüş oluruz. Şimdi bunu deneyelim. y eşittir e üzeri r x. İlk olarak, bunun birinci türevi nedir? y üssü nedir? Zincir kuralı. İçteki fonksiyonun türevi r. Dıştaki fonksiyonun türevi ise, hala, e üzeri r x. Peki, ikinci türev nedir? y'nin ikinci türevi r sabit içteki fonksiyonun türevi r, çarpı dıştaki r, yani r kare çarpı e üzeri r x. Denkleme koymaya hazırız. İkinci türev, r kare çarpı e üzeri r x, artı 5 çarpı birinci türev, 5 r e üzeri r x artı 6 çarpı fonksiyonumuz 6 çarpı e üzeri r x eşittir 0. r'yi bulmak için yapabileceğimiz şeyi görmüş olabilirsiniz. Soldaki tüm terimlerin e üzeri r x çarpanı var, o zaman onu dışarı alalım. Yani, e üzeri r x çarpı, r kare artı 5 r artı 6, eşittir 0 olarak yazabiliriz. Hatırlarsanız, bu denklemi sağlayan r'leri bulmaya çalışıyorduk. Denklemin bu tarafının 0'a eşit olması için ne gerekir? e üzeri r x 0 olabilir mi? Üslü bir ifade hiç 0 olabilir mi? Hayır. Bu 0'a eşit olamaz. Demek ki, denklemin sol tarafının 0 olması için, buradaki ifadenin 0'a eşit olması gerekir. r'yi bulmak istersek, r kare artı 5 r artı 6, 0 olmalı. Buna karakteristik denklem diyoruz. r kare artı 5 r artı 6 eşittir 0'a karakteristik denklem diyoruz. Artık analiz yapmadığımızın farkına varmışsınızdır. Sadece ikinci dereceden bir denklem çözümü yapmaktayız. Bunu çarpanlarına ayırması gayet kolay. Nasıl çarpanlarına ayırırız? r artı 2, çarpı r artı 3 eşittir 0. r artı 2, çarpı r artı 3 eşittir 0. Karakteristik denklemin çözümü, r eşittir eksi 2 ve r eşittir eksi 3. Rrrr re küçükken söylemekte zorlanıyordum, şimdi çok baskılı söylüyorum. İki çözüm bulmuş olduk, çünkü bu diferansiyel denklemi sağlayan iki r değeri var. Bu çözümler nelerdir? Birincisi y eşittir e üzeri eksi 2 x, öyle değil mi? Buna y 1 diyebiliriz. Bulduğumuz ikinci çözüm ise, y 2 eşittir e üzeri eksi 3 x. Şimdi size soruyorum: Bulduğunuz en genel çözüm bunlar mı? Bir önceki başlangıç videomuzda, çözümün sabit ile çarpımının da hala bir çözüm olduğunu görmüştük. Buna göre, y 1 bir çözüm ise, y 1'in herhangi bir sabit ile çarpımını da alabiliriz. Öyle yapalım. c 1 ile çarpalım. c 1. Bu da bir çözüm olacak.Şimdi çözümü biraz daha genellemiş olduk, öyle değil mi? Bir fonksiyon sınıfı almış olduk. c sadece 1 değil, herhangi bir sabit olabilir. Başlangıç değerini kullanarak, bu sabiti bulabiliriz. y 2 için de aynı şey geçerli. y 2, 1 çarpı e üzeri eksi 3 x olmak zorunda değil, herhangi bir sayı çarpı e üzeri eksi 3 x olabilir. Bir önceki videoda şöyle öğrenmiştik: Bir şey çözüm ise, o şey çarpı bir sabit de aynı zamanda çözümdür. Ayrıca şunu da öğrenmiştik: İki farklı çözümün toplamı da denklemin çözümüdür. Buna göre, bu diferansiyel denklemin en genel çözümü, y eşittir veya, y'nin x cinsinden bir fonksiyon olduğunu vurgulamak için, x diyebiliriz y x eşittir c 1 e üzeri eksi 2 x artı c 2 e üzeri eksi 3 x. Bu diferansiyel denklemin en genel çözümü bu şekilde ifade edilir. İspatı zor olduğu için, ispata girmeyeceğim. Sadece e üzeri r x'i denemiş olduk. Belki de bu denklemi sağlayan başka değişik bir fonksiyon var. Bana bu konuda inanmanızı isteyeceğim. Bu denklemin tek çözümü, bu. Bu denklemi sağlayan başka fonksiyon yok. Aklınıza bir soru daha gelmiş olabilir: Birinci mertebeden diferansiyel denklemler çözerken sadece bir sabit vardı. çünkü bir başlangıç değeri vardı ve bunu kullanarak sabitin değerini buluyorduk. Burada iki sabit var. Tekil bir çözüm istesem, tek başlangıç değeriyle nasıl iki bilinmeyeni bulacağım? Eğer böyle düşündüyseniz, doğru mantık yürütmüşsünüz demektir. Bu diferansiyel denklemi çözmek için iki başlangıç değerine ihtiyaç var. Verilen bir x değerinde, y'nin neye eşit olduğunu bilmeniz gerekir. Bir de, belki, y'nin birinci türev değerini bilmeniz gerekir. Bunu da bir sonraki videoda yapacağız. Görüşmek üzere.