İkinci Dereceden Doğrusal Homojen Diferansiyel Denklemler 3

Son videoda, bu ikinci mertebeden homojen doğrusal diferansiyel denklemi, y eşittir e üzeri r x ifadesini deneyerek çözmüştük. Denediğimiz zaman, bazı r değerlerinin bu denklemi sağladığını gördük. Bu r'ler eksi 2 ve eksi 3 idi. Karakteristik denklemi çarpanlarına ayırarak, bu çözümü buldum. Eğer karakteristik denklemi nasıl bulduğumuzu unuttuysanız, bir önceki videoyu izlemenizi tavsiye ediyorum. Ve, bu diferansiyel denklemin genel çözümünü bulmuş olduk. Eğer inanmıyorsanız, çözümü deneyebilirsiniz. Peki, genel çözüm değil de, tekil çözüm istiyorsak, ne yapacağız? Başlangıç değerine ihtiyacımız var. Diferansiyel denklemimize başlangıç değeri ekleyelim. Diferansiyel denklemi baştan yazalım. İkinci türev artı 5 çarpı birinci türev artı 6 çarpı fonksiyon eşittir 0. Başlangıç değeri olarak da y 0 eşittir 2'yi alalım. Ve, 0'daki birinci türev, 0'daki y üssü eşittir 3. 0'daki y değeri ve eğim, eğim 3. Bunları kullanarak c 1 ve c 2'yi nasıl buluruz? Birinci başlangıç değerini kullanalım. y 0 eşittir 2, yani bu denkleme 0'ı koyalım. c 1 çarpı e üzeri eksi 2 çarpı 0, e üzeri 0, ve bu 1. c 1 çarpı 1, yani c 1, artı c 2 çarpı e üzeri eksi 3 çarpı 0. Bu da e üzeri 0, yani 1. Artı c 2. Buna göre, birinci başlangıç değerini yerine koyunca elde ettiğimiz ilk denklem, c 1 artı c 2 eşittir 2. Şimdi x eşittir 0'daki eğimi veren ikinci başlangıç değerini uygulayalım. y üssü 0. Bu genel çözümümüz ise, türevini alalım ve bu başlangıç değerini kullanalım. y üssü x nedir? Bunun türevi eşittir eksi 2 c 1 çarpı e üzeri eksi 2 x. Bunun türevi nedir? Eksi 3 c 2 çarpı e üzeri eksi 3 x. Şimdi başlangıç değerimiz olan y üssü 0'ı kullanabiliriz. x 0'a eşit olduğunda, sağ taraf neye eşit? Eksi 2 çarpı c 1 ve e üzeri eksi 0, e üzeri 0, yani 1. Eksi 3 c 2, ve x yine 0, yani e üzeri eksi 3 çarpı 0, yani 1. 1 çarpı eksi 3 c 2. x 0' a eşit olduğu zaman, bu türev neye eşitti? 3, öyle değil mi? y üssü 0 eşittir 3. Şimdi cebirin ilk konularını hatırlıyoruz. İki bilinmeyenli iki denklemimiz iki lineer denklemimiz var. Bunları çözebiliriz. Daha alışkın olduğunuz bir şekilde yazayım. İlk denklemimiz c 1 artı c 2 eşittir 2. İkinci denklem ise, eksi 2 c 1 eksi 3 c 2 eşittir 3. Şimdi ne yapabiliriz? Üstteki denklemi 2 ile çarpalım. Bu denklemleri çözmenin bir sürü yolu var, ama üstteki denklemi 2 ile çarparsak, 2 c 1 artı 2 c 2 eşittir 4 elde ederiz. Şimdi bu iki denklemi toplayabilirim. Eksi 2 c 1 artı 2, bunlar sadeleşir. Eksi 3 artı 2, eksi c 2 eşittir 7 çıktı. Veya, c 2 eşittir eksi 7 buluruz. Şimdi denklemde yerine koyarız. c 1 artı c 2 c 2 eşittir eksi 7 yani eksi 7, eşittir 9. Yok bir saniye c 1 artı c 2, yani eksi 7 eşittir 2, öyle değil mi? Bu denkleme geri koyunca, c 1 eşittir 9 buluyoruz. Tamam kafam karışmıştı ama toparladık. Diferansiyel denklemimizin tekil çözümünü de bulmuş olduk. Bu, genel çözümümüzdü. c 1 ve c2 değerlerini yerine koyalım. Verilen başlangıç değerleri için tekil çözümümüzü bulmuş oluruz. Yani, tekil çözümümüz y x eşittir c 1, 9 e üzeri eksi 2 x artı c 2, eksi 7 e üzeri eksi 3 x. Orijinal diferansiyel denklemimizin tekil çözümü bu. Bu çözümü denemek sizin için iyi bir pratik olacaktır. Bir sonraki videoda bir örnek daha yapacağım. Yakında görüşürüz.