İkinci Dereceden Doğrusal Homojen Diferansiyel Denklemler 4

İkinci dereceden doğrusal homojen diferansiyel denklemlere bir örnek daha yapalım. Önce denklemi yazalım, sonra detayları verelim. 4 çarpı y'nin x'e göre ikinci türevi eksi 8 çarpı birinci türev artı 3 çarpı y fonksiyonu eşittir 0. Başlangıç değerleri, y 0 eşittir 2 y üssü 0 eşittir 1 bölü 2. y eşittir e üzeri r x'in çözüm olduğu düşüncesiyle soruya giriş yapar, yerine koyar ve e üzeri r x çarpanına alıp karakteristik denklemi elde ederiz. Karakteristik denklemin nereden geldiğini hatırlamak için, bir önceki videoyu seyredebilirsiniz. Bu videoda size bu soruları nasıl pratik bir şekilde çözebileceğinizi göstereceğim. Bu diferansiyel denklemin karakteristik denklemi şöyle: 4 r kare eksi 8 r artı 3 eşittir 0. Bu soruları hızlı bir şekilde çözmek için, ikinci türev yerine r kare, birinci türev yerine r ve bu sabit olmalıydı. Orijinal fonksiyonun yerinde sadece katsayısı kalacak, öyle değil mi? Sanıyorum, ne yaptığımı anladınız, görebiliyorsunuz. İkinci türev r kare. Birinci türev r. Türevsiz kısım eksi r üzeri 0 veya 1. Bu, karakteristik denklemimiz. Şimdi köklerini bulabiliriz. Çarpanlarına ayırması kolay değil, onun için kuadratik formülü kullanabiliriz. r eşittir b, b eşittir eksi 8, yani artı 8 artı eksi karekök b kare bu, 64 eksi 4 çarpı a yani 4 çarpı c o da 3. Tamamı bölü 2 a. 2 çarpı 4 eşittir 8. 8 artı eksi karekök 64 eksi 16 çarpı 3 eksi 48 ve bunu tamamı bölü 8. 64 eksi 48 16 eder değil mi? Yani, r eşittir 8 artı eksi karekök 16, bölü 8. 8 artı eksi 4, bölü 8. Bu da eşittir 1 artı eksi 1 bölü 2. Yani, karakteristik denklemin iki çözümü var. Biri, r eşittir 1 artı 1 bölü 2 yani 3 bölü 2. Diğeri, r eşittir 1 eksi 1 bölü 2, yani 1 bölü 2. İki r değerini buldum. Son videodaki tecrübemizden, y eşittir c çarpı e üzeri r x'in denklemin çözümü olduğunu biliyoruz. Buna göre, bu denklemin genel çözümü y eşittir c 1 çarpı -ilk r değerini kullanalım - e üzeri 3 bölü 2 x artı c 2 çarpı e üzeri 1 bölü 2 x. Bu diferansiyel denklem sorusu, kuadratik formül kullanma sorusuyla neredeyse aynıydı. r'leri bulduğunuzda, genel çözümü de çıkarmış, elde etmiş olursunuz. Şimdi başlangıç değerlerini kullanacağız. Başlangıç değerleri olarak y x'i ve y üssü x'i bilmemiz gerekiyor. Şimdi bunları bulalım. y üssü nedir? Genel çözümümüzün y üssü, eşittir 3 bölü 2 çarpı c 1 e üzeri 3 bölü 2 x artı - içteki fonksiyonun türevi - 1 bölü 2 çarpı c 2 çarpı e üzeri 1 bölü 2 x. Şimdi başlangıç değerlerini kullanalım. y 0 eşittir 2, y üssü 0 eşittir 1 bölü 2. Başlangıç değerlerimiz bunlardı. Şimdi bu bilgiyi kullanalım. y 0 burada x yerine 0 koyarsak ne olur? c 1 çarpı e üzeri 0, bu 1. Artı c 2 - burada yine e üzeri 0 var, çünkü x 0'a eşit. O zaman x 0 olduğunda, y neye eşittir? y 2'ye eşit. y 0 eşittir 2. Şimdi ikinci denklemi kullanalım. Türevde x yerine 0 koyarsak, 3 bölü 2 c 1 bu yine 1 olur artı 1 bölü 2 c 2 bu yine 1 e üzeri 1 bölü 2 çarpı 0 eşittir e üzeri 0 ve o da 1. Buna göre, x 0'a eşit olduğunda, türev 1 bölü 2. İki bilinmeyenli iki denklem elde ettik ve bunu bir sürü şekilde çözebiliriz. Bu denklemlerin nasıl çözüldüğünü bildiğinizi düşünüyorum. Üstteki denklemi 3 bölü 2 ile çarpalım. Bakalım ne elde edeceğiz? 3 bölü 2 c 1 artı 3 bölü 2 c 2 eşittir 3 bölü 2 çarpı 2 nedir? 3. Şimdi, alttaki denklemi üstteki denklemden çıkaralım. Bunlar birbirini götürür. 1 bölü 2 eksi 3 bölü 2 nedir? 1 bölü 2 eksi 1 tam 1 bölü 2 eksi 1, öyle değil mi? Eksi c 2 eşittir 1 bölü 2 eksi 3 nedir? Eksi 2 tam 1 bölü 2 veya eksi 5 bölü 2. Yani, c 2 eşittir 5 bölü 2. Bunu, üstteki denkleme koyalım. c 1 artı 5 bölü 2 eşittir 2 veya c 1 eşittir 2 yani 4 bölü 2 eksi 5 bölü 2, bu da eşittir eksi 1 bölü 2. c 1 ve c 2 değerlerini genel çözümümüze koyalım ve tekil çözümü elde edelim. y eşittir c 1 -c 1 eksi 1 bölü 2- eksi 1 bölü 2 e üzeri 3 bölü 2 x artı c 2 - c 2 eşittir 5 bölü 2 - artı 5 bölü 2 e üzeri 1 bölü 2 x. Ve, bitirdik. Evet çok fiyakalı bir çözüm oldu değil mi. Diferansiyel denklem çözüyoruz. Çözümümüzde e var. Türevler alıyoruz, bir sürü başka şeyler de yapıyoruz. Ama, yine de sorunun esasında ikinci dereceden bir denklem çözümü var yani karakteristik denklemin çözümü. Bir önceki videoyu seyredip, karakteristik denklemin nasıl işe yaradığını anlayabilirsiniz. Karakteristik denklemi bulmak çok kolay, öyle değil mi? y'nin ikinci türevinin r kareye, birinci türevinin r'ye ve kendisinin 1'e dönüştüğünü görüyorsunuz değil mi. Evet umarım görüyorsunuz. Böylece, ikinci dereceden bir denklem çözüyorsunuz. Bunu yaptıktan hemen sonra da, birinci türevi almanız gerekiyor - çünkü ikinci dereceden denklemi çözer çözmez, genel çözümü elde ediyorsunuz. Sonra, genel çözümünü türevini alıp, başlangıç değerlerini kullanıyorsunuz. Lineer denklem sistemine ulaşıp, c 1 ve c 2 sabitleri için bu sistemi çözüyorsunuz ve tekil çözümünüzü bulmuş oluyorsunuz. Yapmanız gereken sadece bu. Bir sonraki videoda görüşmek dileğiyle.