Belirlenmemiş Katsayılar 1

Homojen olmayan sabit katsayılı ikinci mertebeden doğrusal diferansiyel denklemler çözmeye hazırız. Peki, bunun anlamı nedir? Şuna benzeyen bir denklem demek. A çarpı ikinci türev artı B çarpı birinci türev artı C çarpı fonksiyon eşittir g x demek. Bir örnek çözmeden önce, ilginç bir şey göstermek istiyorum. Homojen olmayan denklemin genel çözümü homojen denklemin genel çözümü, artı tekil bir çözümdür. Bunun anlamını birazdan açıklayacağım. Diyelim ki, h, homojen bir denklemin çözümü. Bu iyi bir seçim, çünkü h zaten homojen kelimesinin ilk harfi. Homojen için bir kısaltma olmalı. Bunun anlamı nedir? A çarpı h'nin ikinci türevi artı B çarpı h üssü artı C çarpı h eşittir 0. h'nin çözüm olmasının anlamı bu. h, homojen denklemin genel çözümü diyelim. Bunu çözmeyi biliyoruz. Karakteristik denklemi alırız ve reel ve karmaşık kökleri buluruz. Böylece, genel çözümü buluruz. Eğer başlangıç değerleri varsa, yerine koyup sabitlerin değerlerini buluruz, sabitlerin değerlerini. Peki şimdi g'nin çözüm olduğunu düşünelim. Hayır, g'yi burada kullandım. Sesli harf kullanmak istemiyorum. j diyelim j. j'nin bu diferansiyel denklemin bir tekil çözümü olduğunu varsayalım. Peki, bunun anlamı nedir? A çarpı j'nin ikinci türevi artı B çarpı j üssü artı C çarpı j eşittir g x. Öyle değil mi? j x'i tekil çözüm olarak tanımlamış olduk. Şimdi size j x artı h x'in bu denklemin çözümü olacağını göstereceğim. Bu ifade, homojen olmayan denklemin genel çözümü olacak. Başlamadan önce, nasıl bir mantık yürütebiliriz onu düşünelim. Buraya h koyunca, 0 elde ediyoruz. j koyunca da g x elde ettik. Topladığımızda ise, 0 artı g x elde edeceğiz. Yani, g x elde edeceğiz. Şimdi size bunu göstereyim. Buraya h artı j koymak istiyorum, diyelim. A ikinci fonksiyonun toplamının ikinci türevi eşittir ikinci türevlerin toplamı A o zaman A artı B çarpı toplamın birinci türevi artı C çarpı fonksiyonların toplamı. Amacım, bunun g x'e eşit olduğunu size göstermek. Peki, bu nasıl sadeleşir? h'li terimleri biraraya toplarsak, A çarpı h'nin ikinci türevi artı B çarpı h üssü artı C çarpı h artı, j'li terimleri birleştirelim A çarpı j'nin ikinci türevi artı B çarpı j üssü artı C j. C j evet. Peki h ve j'nin tanımlarına göre, bu neye eşit olur? h'nin homojen denklemin çözümü olduğunu söylemiştik, yani bu ifade 0'a eşit. Burası, 0'a eşit. j'nin tanımına göre, peki bu neye eşit? j'nin homojen olmayan denklemin tekil çözümü olduğunu da söylemiştik. Yani, bu ifade g x'e eşit. O zaman buna göre, h artı j'yi diferansiyel denklemin sol tarafına koyduğumuzda sağ tarafta gerçekten g x elde ediyoruz. h ve j'yi böyle tanımlıyoruz ve k x eşittir h x artı j x diyoruz. Genel çözüm böyle. Denklemin en genel çözümünün bu şekilde olduğunu ispatlamadım, ama mantığını anladınız, umarım değil mi evet umarım anladınız. Çünkü homojen denklemin genel çözümü, en genel çözümdü ve buna, sadece sağ tarafta g x'i elde etmemizi mümkün kılan bir tekil çözüm ekliyoruz. kafanızı karıştırmış olabilir biraz o yüzden gerçek sayılarla bir örnek yapalım. Sanıyorum, böylesi çok daha makul, daha mantıklı gelecek. Size j'yi bulmak için bir teknik de öğreteceğim. Peki, tekil çözümü nasıl bulduk? Diferansiyel denklemimiz şöyle: y'nin ikinci türevi eksi 3 çarpı birinci türev eksi 4 çarpı y eşittir 3 e üzeri 2 x. İlk olarak, homojen denklemin genel çözümünü bulmak istiyoruz. Örneğimizde bu, h x olurdu. Yani y'nin ikinci türevi eksi 3 y üssü eksi 4 y eşittir 0'ın çözümünü bulmak istiyoruz. Karakteristik denklemi alalım. r eksi 4 çarpı r artı 1 eşittir 0. İki kök, r eşittir 4 veya r eşittir eksi 1. Genel çözümümüz eksi y g diyelim. c 1 e üzeri 4 x artı c 2 e üzeri eksi 1 x, veya eksi x. Pekala homojen denklemi çözmüş olduk. Peki, sağ tarafta bize bu sonucu veren j x'i nasıl buluyoruz? Burada durup bir düşünelim. Bu yöntemin adı, Belirsiz Katsayılar Yöntemi, belirsiz Katsayılar katsayı. Şöyle diyoruz: Öyle bir fonksiyon seçeyim ki ikinci türevine birinci türevinin ve fonksiyonun katlarını eklediğimde e üzeri 2 x elde edeyim. Bu fonksiyon ve türevleri, e üzeri 2 x'in katları olmalı, öyle değil mi? Yani, tahminde bulunuyoruz. Değişik fonksiyonların ve türevlerinin katlarını alıp toplasam, çıkarsam ne elde ederim, diye soruyoruz. e üzeri 2 x veya e üzeri 2 x'in bir katını elde ederim. Burada bulacağımız iyi bir tahmine, j veya tekil y diyebiliriz. Burada tekil ifadesini, başlangıç değeri olan denklemlerden biraz farklı anlamda kullanıyorum. Bu çözüm, bize sağ tarafı veren çözüm. A çarpı e üzeri 2 x olarak bir çözüm seçeyim. Tahminim buysa, bunun türevi eşittir 2 A e üzeri 2 x. İkinci türevi de, 4 A e üzeri 2 x. Bunları yerine koyup, A'yl bulursam, tekil çözümümü elde etmiş olurum. İkinci türev, bu. 4 A e üzeri 2 x eksi 3 çarpı birinci türev. Yani, eksi 3 çarpı bu. Eksi 6 A e üzeri 2 x eksi 4 çarpı fonksiyon. Eksi 4 A e üzeri 2 x ve bunun tamamı, 3 e üzeri 2 x'e eşit. e üzeri 2 x'in 0'a eşit olmadığını biliyorum, o yüzden iki tarafı buna bölebilirim. Dışarı alalım. e üzeri 2 x'lerin hepsini yok edelim. Sol tarafta 4 A ve eksi 4 A kalır. Bunlar birbirini götürür ve eksi 6 A eşittir 3 kalır. İki tarafı 6'ya bölersek, A eşittir eksi 1 bölü 2 buluruz. Evet. Tekil çözümümüzü bulduk. Eksi 1 bölü 2 e üzeri 2 x. Homojen olmayan denklemin genel çözümü, bu tekil çözüm artı homojen denklemin genel çözümü olacak. Bunun en genel çözüm olduğunu söyleyebiliriz. y diyeyim. c 1 e üzeri 4 x artı c 2 e üzeri eksi x artı bulduğumuz tekil çözüm. Yani, eksi 1 bölü 2 e üzeri 2 x. Süper. Neyse, birkaç örnek daha yapınca, yöntemi anlayacağınızı düşünüyorum. Sonraki örneklerde e dışında bir fonksiyon kullanırız. Polinom ve trigonometrik fonksiyonlarla da işlemler yaparız falan filan. Bir sonraki videoda görüşürüz.