If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:8:09

Video açıklaması

Sabit katsayılı homojen olmayan doğrusal diferansiyel denklemlere bir örnek daha yapalım. Sol taraf yine aynı kalsın. y'nin ikinci türevi eksi 3 çarpı y'nin birinci türevi eksi 4 çarpı y eşittir şimdi, üstel veya trigonometrik fonksiyon yerine polinom kullanalım. Öyle değil mi? Bu 0 olsa, homojen denklemin genel çözümünü nasıl bulacağınızı biliyorsunuz. O yüzden, tekil çözüme odaklanıyoruz ve tekil çözümü homojen denklemin genel çözümüyle toplayarak, homojen olmayan denklemin genel çözümünü buluyoruz. Çok kolay, peki tekil çözüm için tahminimiz nedir? Üstel fonksiyon olduğunda, çözümümüzü de üstel fonksiyon olarak aldık. Trigonometrik fonksiyon için, tahminimiz yine trigonometrikti. Diferansiyel denklemi homojenlikten çıkaran bir polinom olduğu için, tekil çözümü polinom olarak tahmin edelim şimdi de. Mantklı, makül değil mi? İkinci dereceden bir polinomla türevlerini toplarsanız, bir başka ikinci dereceden polinom elde edersiniz. Tahminimiz, A x kare artı B x artı C olsun. İkinci türevi ne olur? İkinci türevi, 2 A x artı B olur. Düzeltiyorum, bu birinci türev. İkinci türev, 2 A olur. Şimdi denklemde yerine koyalım. İkinci türev, 2 A, eksi 3 çarpı birinci türev. Eksi 3 A Düzeltiyorum eksi 3 çarpı bu. Yani, eksi 6 A x eksi 3 B eksi 4 çarpı fonksiyonun kendisi. Eksi 4 A x kare eksi 4 B x eksi 4 C. 4 çarpı bunun tamamı. Bu, 4 x kareye eşit. Benzer terimleri şimdi gruplayalım, ve katsayıları bulalım. Bakalım. Burada bir tane x kareli terim var. Eksi 4 A x kare. Peki, x'li terimler nerede? Eksi 6 A x eksi 4 B x. Veya, artı, eksi 6 A eksi 4 B, x diyebiliriz. Sadece katsayıları topladık. Ve sabit terimimiz, 2 A eksi 3 B eksi 4 C. Bunun tamamı, 4 x kareye eşit. Şimdi A, B ve C'yi nasıl buluruz? Bu taraftaki x kareli terimlerin katsayılarının toplamı, 4 olmalı. Bu taraftaki x'li terimlerin katsayılarının toplamı 0 olmalı. Bunu 0 x olarak görebiliriz, öyle değil mi? Sabiti de 0 olarak düşünebiliriz. Sabit terimlerin toplamı da 0 olmalı. x kareli terimleri eşitleyelim. Eksi 4 A eşittir 4. Buna göre, A eşittir eksi 1. Tamam. Şimdi de x'li terimler. Eksi 6 A eksi 4 B eşittir 0. Öyle değil mi? Bunu yazalım. A'nin değerini biliyoruz, şimdi yerine koyalım. Eksi 6 A, eksi 6 çarpı eksi 1. 6 eksi 4 B eşittir 0. 4B'yi bu tarafa atıyorum. 4 B eşittir 6. B eşittir 6 bölü 4, yani 3 bölü 2. Sabit terim de 0, bu değeri de bulalım. 2 A, eksi 2, eksi 3 çarpı B. Eksi 3 çarpı bu. Yani, eksi 9 bölü 2 eksi 4 C eşittir 0. Bakalım. Dikkatsizlik yapmak istemiyorum. Eksi 4 eksi 9 bölü 2, öyle değil mi? Eksi 4 bölü 2 eksi 9 bölü 2 4 C'yi bu tarafa alalım eşittir 4 C. Eksi 4 eksi 9 nedir? Eksi 13 bölü 2 oldu. Eksi 13 bölü 2 eşittir 4 C: İki tarafı 4'e böleliriz. O zaman C eşittir eksi 13 bölü 8 çıktı. Bu sefer bir dikkatsizlik yapmadım zannedersem. Şimdi tekil çözümümüzü bulmuş olduk. Çözümü yazalım. Çözümümüz şöyle olacak: Tekil çözüm, yani A x kare, eksi 1 x kare. A x kare artı B x, artı 3 bölü 2 x, artı C, eksi 13 bölü 8. Bu, tekil çözüm. A, B ve C'yi bulmuştuk. Belirsiz katsayıları belirlemiştik. Şimdi, genel çözüm için, bu tekil çözüme homojen denklemin genel çözümünü ekliyorum. Homojen denklemimiz neydi? y'nin ikinci türevi eksi 3 y üssü eksi 4 y eşittir 0. Bunu defalarca daha önce çözdük. Bu homojen denklemin genel çözümünün, c 1 e üzeri 4 x artı c 2 e üzeri eksi x olduğunu biliyorum, öyle değil mi? Karakteristik denklemi alırız. r kare eksi 3 r eksi 4. Ne bulmuştuk? r eksi 4 çarpı r artı 1, ve böylece, eksi 1 ve 4 buluyoruz. Neyse. Bu, homojen denklemin genel çözümü, bu da homojen olmayan denklemin tekil çözümü. Homojen olmayan denklemin genel çözümü, bu ikisinin toplamı. O zaman bunları toplayalım. c 1 e üzeri 4 x artı c 2 e üzeri eksi x. İşte böyle. Umarım, çok uzatmamışımdır. Çünkü en zor olan kısım, zaten cebirde dikkat hatası yapmamaktı. Ama, gayet kolay ve cebirsel bir teknik kullanarak, bu ikinci mertebeden sabit katsayılı doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemi çözdük. Bir sonraki videoda görüşürüz.