Karmaşık Sayı Denklemleri: x³=1

Bu videoda, bir karmaşık sayının üstel hâlinin nasıl bir yararı nasıl bir faydası olduğunu öğreneceksiniz. Hemen başlayalım. Çözmek istediğimiz fonksiyon şu olsun: " x küp " eşittir 1. Amacımız, bu denklemin tüm gerçel ve karmaşık köklerini bulmak. Bu denklem şuna eşittir: " x küp" eksi 1, eşittir 0. Ve bu denklemin tüm gerçel ve karmaşık köklerini bulmak istiyoruz. Bu kökleri, bir karmaşık sayının üstel hâlini kullanmadan bulmanın yolları var ama bu videoda göstereceğim yöntem, bu denklem mesela (" x üzeri 5" eksi 1) olsaydı ya da (" x üzeri 13" eksi 1) olsaydı yine kullanılabilirdi. Bu yöntem ayrıca, bir Argand Düzlemi'ne baktığınızda gözünüzün önünde beliren kalıpları anlamanızı sağlayacak. Şöyle başlayalım: İlk olarak, 1'in üstel gösterimini bir göz önüne getirin. Örneğin, "z" eşittir 1 olsun. 1, bir karmaşık sayıdır. 1, bir gerçel sayıdır ama tüm gerçel sayılar aynı zamanda karmaşık sayıdır. Alt kümedirler. Gerçel sayılar, karmaşık sayılar uzayındadırlar. Sanal bölümleri yoktur. Bunu, Argand Düzlemi'nde gösterelim. Bu, gerçel eksenim Bu da sanal eksenim, bu da sanal eksen... Burası gerçel, burası da sanal. . "z eşittir 1"i göstereceksem... Yalnızca gerçel bölümü var. 1'i tüm eksenlerde göstereyim. "eksi 1", "eksi 1". "z" de aynen şöyledir."1 virgül 0" noktasına giden bir konum vektörüdür. Bir diğer gösterimle; eşittir, 1 artı "sıfır i". Şimdi bunu üstel hâle getirelim. Sayının büyüklüğü apaçık görünüyor. "z"nin büyüklüğü, vektörün uzunluğudur. Yani, 1'in mutlak değeridir. Bu da neye eşittir? Neye eşit bu? 1'e eşit Peki argümanı ne? "z"nin argümanı ne? Bu vektörün, gerçel eksenin artı yanıyla artı tarafıyla yaptığı açı ne? Gerçel eksende ne var? Bir gerçel sayı var. Yani, açı yapmıyor. Yani, "z"nin argümanı sıfırdır. Buraya kadar hep bildiğiniz şeyler. Peki ne gördük? 1'in; (1 çarpı, "e" üzeri "sıfır i"ye) eşit olduğunu gördük. Aslında bu apaçık belli bir şey. "e" üzeri sıfır... sıfır çarpı "i", sıfıra eşit olduğundan, burası sıfırdır. "e" üzeri sıfır, 1'dir. "1 çarpı 1" de, 1'e eşittir. Bilmediğimiz bir şey yok. Ama buradaki asıl önemli şey şu: Bu argümana, "sıfır radyan" diyebilirsiniz. Ya da bir tam tur atarak, yani "2 pi" ekleyerek aynı noktaya gelebilirsiniz. Karmaşık sayımızın, yani 1'in argümanı, "2 pi" açısı olabilir. Ya da "4 pi" olabilir. "6 pi" olabilir. "8 pi" olabilir. O hâlde, 1'i şöyle de yazabiliriz: 1 çarpı "i"... 1'leri artık yazmayacağım. 1 çarpı, ("e" üzeri "2 pi i"). Ya da 1 çarpı, ("e" üzeri "4 pi i") Bu yazdıklarımızın asıl önemli olan yanı, bu denklemin, (" x küp" eşittir 1) denkleminin, farklı şekillerde yazılabilmesidir. " x küp" eşittir 1 şeklinde yazılabilir. Ya da " x küp" eşittir, "e" üzeri "2 pi i" şeklinde yazılabilir. Ya da " x küp" eşittir, "e" üzeri "4 pi i" şeklinde yazılabilir. Bunun önemini biraz sonra anlayacaksınız. Şimdi, x'i bulmak için, bu denklemlerin her iki yanının küpkökünü alalım. Bunun küpkökü. Bunun küpkökü. Aynı şekilde, bunun da küpkökü. Hepsinin küpkökünü alıyoruz ki, denklemlerdeki x 'i bulabilelim. Hepsinin küpkökü İlk denklemimiz ne olur? Bakalım ne olur? x eşittir, 1'in küpkökü. O da, 1'e eşittir. İkinci denklem ne olur? İkinci denklem; x eşittir, "e" üzeri, ("2 pi bölü 3", çarpı "i"). "e" üzeri, ("2 pi bölü 3", çarpı "i"). Son denklem de; x eşittir... Küpünün küpkökünü aldığımızda, " x üzeri 1" olacağı zaten açık. Bunu da mavi renkle yazayım. x eşittir, "e" üzeri, ("4 pi bölü 3", çarpı "i"). "4 pi bölü 3", çarpı "i". Güzel...şimdi burada biraz durup düşünelim. İlk olarak şunu sorayım: Buradaki argüman nedir? Bunların üçü de denklemin köküdür. Onları yeniden isimlendirelim. " x 1", " x 2" ve " x 3". Bunların üçü de farklı sayılar. Köklerden biri 1, açıkça yazıyor zaten, 1 kendi küpkökünün köklerinden biridir.Ama bunlar farklı sayılar. Bunlar, karmaşık sayılar. Şimdi, bu sayıları görselleştirmeyi deneyelim. Argümanları nedir? Bu denklemlerin... " x 2" ile başlayalım. " x 2"nin büyüklüğünün 1 olduğu açıkça görünüyor. Büyüklüğü, "e"nin katsayısıdır. 1 olduğunu görüyoruz. ''x 3"ün büyüklüğü de aynı renkle yazayım "x 3 "ün büyüklüğünün de 1 olduğu açıkça görünüyor. Peki, " x 2 "nin argümanı nedir? " 2 pi bölü 3 "tür. " 2 pi bölü 3 " Peki, " x 2 " yi nasıl çizeriz? Açı, "2 pi bölü 3" Açıyı derece cinsinden düşünmek bana hep daha kolay gelmiştir. "2 pi", 360 derece olduğuna göre, 360 bölü 3, 120 derece eder. Yani, 180 dereceden 60 derece içeriye doğru alırsak, yaklaşık burada olur. Argümanımız bu açıdır. O da, 120 derecedir. Başka bir diğer deyişle, "2 pi bölü 3". Bu iki vektörün boyu aynıdır. Aynı renkle yazayım. " x 1 "i yeşil ile çiziyorum. İşte burada'' x 2" de mor olan. İşte bu İkisinin de büyüklüğü aynı. Birbirlerinin 120 derece döndürülmüş hâlleri. Peki, " x 3 " ün argümanı ne? Argümanı, "4 pi bölü 3". Bu da, derece cinsinden ifade edersek, 720 derece bölü 3 demektir. 720 'yi 3'e bölersek... Kaç çıkar? 240 derece olur? Evet bunu zaten ezbere bilmem gerekirdi. 240 derece de, 180 derecenin üzerine 60 derece daha gitmek demektir. Yani, yaklaşık burada olur. Yaklaşık olarak burada... O halde, bu gördüğünüz açı da "4 pi bölü 3" radyandır. "4 pi bölü 3" radyan. O da, 240 dereceye eşit. Aynı şekilde, bunun büyüklüğü de aynıdır. Şimdi burada şunu gördük: Bir gerçel sayının küpkökünü aldığımızda; bir tam çemberi, bir diğer deyişle 360 dereceyi, ya da bir diğer deyişle "2 pi radyan"ı 3'e bölüyoruz. Burası küpkökü. Eğer 120 derece gidersek bir kök daha var. 120 derece daha gidersek diğer kök geliyor. Böylece köklerin yerlerine ait şablonu görüyorsunuz. Tabi bu yanıt sizi tatmin etmemiş olabilir. Diyebilirsiniz ki " İyi ama, karmaşık köklerini bulacağım'' demiştin. Ben bunu ya da bunu karmaşık sayı olarak kabul etmeye alışkın değilim. ("a" artı "i çarpı b") şeklinde olmasını istiyorum" Belki böyle diyor olabilirsiniz, bu yazdıklarımızdan yola çıkarak şimdi onları da bulabiliriz. " x 2" neye eşit olur? (kosinüs "2 pi bölü 3"), artı ( i çarpı sinüs "2 pi bölü 3"). sinüs "2 pi bölü 3". Buradaki grafiğimizden, bunları kolayca bulabiliriz. Açımız işte bu. Burada kalan açı 60 dereceyse... Çünkü üstte kalan açı 30 derecedir. Hipotenüs, yani uzunluk 1'dir. O hâlde bu kenar, "kök 3" bölü 2'dir. Bu kenar da, "eksi 1 bölü 2"dir. Yani, " x 2" neye eşittir? kosinüs "2 pi bölü 3", "eksi 1 bölü 2"dir değil mi? , "eksi 1 bölü 2". Artı, ( i çarpı sinüs "2 pi bölü 3"). Yani, bu kenar. O da, ("kök 3" bölü 2), çarpı "i"dir. " x 2 "yi bulduk. Şimdi aynını "iks 3" için de yapalım. " x 3" neye eşittir? Gerçel değeri, " x 2 "ninkiyle aynı. "eksi 1 bölü 2"dir. Sanal değeri de... Burada gördüğünüz bu dar açı da, yani vektörün gerçel eksenle yaptığı bu açı da "eksi 60" derecedir. O hâlde, buradaki kenarın uzunluğu eksi "kök 3" bölü 2 olur. Karmaşık sayımız, "eksi 1 bölü 2", eksi, ("kök 3" bölü 2 çarpı "i")dir. Bu yöntemi kullanarak, 1'in üçüncü dereceden karmaşık köklerini bulduk. Köklerden biri bu. Diğeri de bu. Elbette, 1 de köklerden biridir. Eğer dördüncü dereceden köklerini bulmak isteseydik, yine aynı yöntemi kullanacaktık "2 pi"yi, yani 360 dereceyi bu sefer 4'e bölecektik. peki, ne bulacaktık? 1 bulacaktık, "i" bulacaktık, "eksi 1" bulacaktık ve "eksi i" bulacaktık. Bildiğiniz gibi, "i"nin dördüncü kuvveti 1'dir. Ve ayrıca "eksi i"nin dördüncü kuvveti de 1'dir. Tabii, 1'in dördüncü kuvveti de 1'dir. Bu yöntemi kullanarak, 1'in, sekizinci dereceden köklerini de bulabiliriz. Aklınıza gelebilecek bir diğer soru da, neden "e üzeri 4 pi i"de durduğum olabilir. neden devam etmedim? Örneğin, neden "e üzeri 6 pi i" için de bir kök aramadım? Öyle yapsaydım, devam edip dördüncü bir kök bulmaya çalışsaydım ne olurdu? "x küp" eşittir, "e üzeri 6 pi i", "e üzeri 6 pi i". Eşitliğin her iki yanının da küpkökünü alalım Ne olacak? x, eşittir... Sağ yanın küpkökünü alırsak, "e üzeri 2 pi i" olur."e üzeri 2 pi i" olur. Peki, "e üzeri 2 pi i" neye eşittir? Bu bizi başa, yani 1'e götürür. Bir "2 pi i" daha eklediğimde, yeniden bu köke geliyoruz. Diyelim, "e üzeri 8 pi i" için yapsaydım, o zaman da bu köke, yani "x 2"ye gelecektim. Bir şeyin üçüncü dereceden köklerini arıyorsanız, yalnızca üç adet köke ulaşırsınız. Ondan sonra yaptığınız tüm işlemler fazlalıktır.