Ana içerik

Konu: Kalkülüs Öncesi (Eureka Math/EngageNY) > Ünite 3

Ders 13: Topic C: Lesson 18: Inverse functions

Fonksiyonların Terslerini Bulalım

f(x)=3x+2 gibi bir fonksiyonun tersinin formülünün nasıl bulunduğu öğrenmek ister misiniz?

Ters fonksiyonlar, en genel anlamıyla, birbirini ''tersine çeviren'' fonksiyonlardır. Örneğin, eğer

f

fonksiyonu

a

'yı

b

'ye götürüyor ise, bu durumda tersi olan

f^{- 1}

b

'yi

a

'ya götürüyor olmalıdır.

Başka şekilde ifade edersek,

f (a) = b ⟺ f^{- 1} (b) = a

'dır.

Bu makalede, orijinal fonksiyonun formülünü bildiğimizde ters fonksiyonun formülünü nasıl bulacağımızı öğreneceğiz.

Başlamadan önce...

Bu derste,

f (x) = 3 x + 2

'nin ters fonksiyonunu bulacağız.

Bunu yapmadan önce,

f^{- 1} (8)

'i nasıl bulacağımızı düşünelim.

f^{- 1} (8)

'i bulmak için,

f

'nin

8

çıktısıyla eşleşen girdisini bulmalıyız. Bunun nedeni, eğer

f^{- 1} (8) = x

ise, bu durumda terslerin tanımına göre

f (x) = 8

olmasıdır.

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ 8 & = 3 x + 2 & Let f(x)=8 \\ 6 & = 3 x & İki taraftan da 2 çıkarın \\ 2 & = x & İki tarafı da 3’e bölün \end{aligned}

Buna göre

f (2) = 8

'dir, bu

f^{- 1} (8) = 2

anlamını taşır.

Ters fonksiyon bulma

Yukarıda herhangi bir

y

için

f^{- 1} (y)

'yi bulmak için yaptıklarımızı genelleştirebiliriz.

f^{- 1} (y)

'yi bulmak için,

f

'nin

y

çıktısıyla eşleşen girdisini bulmalıyız. Bunun nedeni, eğer

f^{- 1} (y) = x

ise, bu durumda terslerin tanımına göre

f (x) = y

olmasıdır.

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ y & = 3 x + 2 & Let f(x)=y \\ y - 2 & = 3 x & İki taraftan da 2 çıkarın \\ \frac{y - 2}{3} & = x & İki tarafı da 3’e bölün \end{aligned}

Buna göre,

f^{- 1} (y) = \frac{y - 2}{3}

Değişken seçimi isteğe bağlı olduğundan, bunu

f^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3}

olarak yazabiliriz.

Ters fonksiyonlar girdileri ve çıktıları terine çevirdiğinden,

f^{- 1}

'i bulmanın başka bir yolu başlangıçte

x

y

'yi birbiriyle değiştirmek ve sonra tersini fonksiyon formunda yazmak için

y

'yi bulmaktır.

\begin{aligned} f (x) & = 3 x + 2 \\ y & = 3 x + 2 & f (x) yerine y koyun \\ x & = 3 y + 2 & x ve y ’yi değiştirin \\ x - 2 & = 3 y & İki taraftan da 2 çıkarın \\ \frac{x - 2}{3} & = y & İki tarafı da 3 ’e bölün \end{aligned}

Buna göre,

f^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3}

İki yöntem arasındaki benzerliklere dikkat edin. Her durumda, denklem yalnız bırakılmamış olan değişken için çözülmüştür. Temel fark, değişkenlerin ne zaman ters çevrildiğidir. (Birinci yöntem bunu sonda yapar, ikinci yöntemse başta yapar.)

Konuyu ne kadar anladığınızı kontrol edin

1) Doğrusal fonksiyon

$g (x) = 2 x - 5$ ‍'in tersini bulun.

g^{- 1} (x) =

2) Üçüncü dereceden fonksiyon

$h (x) = x^{3} + 2$ ‍'nin tersini bulun.

h^{- 1} (x) =

3) Küp kök fonksiyonu

$f (x) = 4 \cdot \sqrt[3]{x}$ ‍'in tersini bulun.

f^{- 1} (x) =

Başlamak için,

f (x)

yerine

y

koyun. Sonra

x

'i bulun.

\begin{aligned} f (x) & = 4 \sqrt[3]{x} \\ y & = 4 \sqrt[3]{x} & f(x)’i y ile değiştirin \\ \frac{y}{4} & = \sqrt[3]{x} & Her iki tarafı da 4’e bölün \\ {(\frac{y}{4})}^{3} & = x & Her iki tarafın kübünü alın \\ {(\frac{y}{4})}^{3} & = f^{- 1} (y) & x’i şunla değiştirin: f^{- 1} (y) \end{aligned}

Değişken seçimi isteğe bağlı olduğundan, tersi

x

cinsinden yazmak için, şimdi

y

'yi

x

'e çevirebiliriz.

Buna göre,

f^{- 1} (x) = {(\frac{x}{4})}^{3}

veya

f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}

4) Rasyonel fonksiyonlar

$g (x) = \frac{x - 3}{x - 2}$ ‍'nin tersini bulun.

g^{- 1} (x) =

Başlamak için,

g (x)

yerine

y

koyun. Sonra

x

'i bulun.

\begin{aligned} g (x) & = \frac{x - 3}{x - 2} \\ y & = \frac{x - 3}{x - 2} & g (x) yerine y koyun \\ y (x - 2) & = x - 3 & İki tarafı da x - 2 ile çarpın \\ y x - 2 y & = x - 3 & Dağıtın \\ y x - x & = 2 y - 3 & x içeren terimleri bir tarafta toplayıne \\ x (y - 1) & = 2 y - 3 & x çarpanını dışarı alın \\ x & = \frac{2 y - 3}{y - 1} & İki tarafı da y - 1 ile bölün \\ g^{- 1} (y) & = \frac{2 y - 3}{y - 1} & x yerine g^{- 1} (y) koyun \end{aligned}

Değişken seçimi isteğe bağlı olduğundan, tersi

x

cinsinden yazmak için, şimdi

y

'yi

x

'e çevirebiliriz.

$g^{- 1} (x) = \frac{2 x - 3}{x - 1}$ ‍

5) Zor problem

Her fonksiyonu, tersinin türüyle eşleştirin.

1

Bu problemi, gerçek tersleri bulmaksızın tamamlayabilirsiniz. Sadece, hangi işlemlerin fonksiyonu ''geri alacağını'' düşünün. Veya, size yardımcı olması için yukarıda yapılanları kullanın.

Fonksiyon	Ters tür
$f (x) = 3 x - 5$ ‍	Doğrusal
$g (x) = x^{3} - 7$ ‍	Küpkök
$h (x) = \frac{x + 2}{x - 3}$ ‍	Rasyonel
$j (x) = \sqrt{x + 2}$ ‍	İkinci dereceden

Tartışmaya katılmak ister misiniz?

Giriş Yap

Sıralama ölçütü:

Henüz gönderi yok.

İngilizce biliyor musunuz? Khan Academy'nin İngilizce sitesinde neler olduğunu görmek için buraya tıklayın.