Üçgenin Alan Hesabının İspatı

Artık, dikdörtgenin alanını bulmayı öğrendiğimize göre, Bu videoda üçgenlerin alanlarını nasıl hesaplayacağımızı öğrenelim. Bu bir dik üçgen. Doksan derecelik açısı olan üçgenlere biliyorsunuz veya bilmiyorsunuz dik üçgen denir. Bu ABC dik üçgeninin alanını, nasıl hesaplayabileceğimizi düşünelim. Bunun için üçgenimizi bir dikdörtgene tamamlamayı düşünebiliriz. Dikdörtgene tamamladıktan sonra da, o dikdörtgenin alanının bir parçası olarak üçgenimizin alanını bulabilirz. Üçgeni dikdörtgene tamamlamak için en iyi yol ABC üçgeninin bir kopyasını, AC kenarı etrafında döndürüp yapıştırmak. A açısının 90 derece olduğunu biliyoruz, C açısına da x derece dersek 90 artı X artı 90 artı A açısı 180 derece olmalı, o halde A açısına da 90 eksi x diyebiliriz. ABC üçgenini, AC kenarı etrafında döndürüp yapıştırdığımızda, biribirine eş iki dik üçgenden oluşan bir dikdörtgen elde ederiz. Buradaki dik açı, diğerinde de burada olacak. x açısı da burada. Buradaki 90-x ise, şuraya denk geliyor. C köşesinde iki açı elde ettik, bunlar x ve 90 eksi x, toplamları 90 derece olmalı. A köşesinde de toplamları 90 olan aynı iki açıyı elde etmiş olduk. 4 kenarı ve 4 dik açısı var, evet, kesinlikle bir dikdörtgen oldu. Elde ettiğimiz dikdörtgen, 2 tane ABC üçgeninden oluşuyor O halde ABC üçgeninin alanı, köşeli parantezler bu anlama geliyor, ABC üçgeninin alanı demek, bu dikdörtgenin alanının yarısına eşittir. Buraya D diyelim. ABCD dikdörtgeninin alanının yarısı olmak zorundadır. Bunu da ½ ile çarpım şeklinde yazabiliriz. ABCD dikdörtgeninin alanı, dikdörtgenin tabanıyla yüksekliğinin çarpımına eşittir ABC üçgeninin alanı da dikdörtgenin alanının yarısına eşittir. Bu da ½ çarpı, ABCD'nin alanı.- Değişik bir renkle belirtelim orayı- Bu da taban, -yani BC nin uzunluğu-, çarpı üçgenin yüksekliği -yani AB-. bu taban ile bu yüksekliği çarptığımızda bütün dikdörtgenin alanını buluyoruz. ABC üçgeninin alanı da, bunun yarısı. Elimizde bir dik üçgen olduğunda; -bu bir dik üçgen, dik üçgen olması için tek bir dik açı olması yeterli-, tabana b yüksekliğe de h dersek, üçgenin alanı b çarpı h bölü 2 olur. Bu da ½ çarpı b ç arpı h olarak yazılabilir. Yani dik üçgenlerde tabanla yüksekliğin çarpımının yarısı bize üçgenin alanını verir. Şimdi de ABC dar açılı üçgenine bakalım. Bu üçgenin alanını hesaplamak için, üçgeni 2 dik üçgen oluşacak olacak şekilde bölelim. B noktasından üçgenin tabanına bir dikme inelim ve bu noktaya da D noktası diyelim Üçgenimizi iki dik üçgene bölmüş olduk. O halde ABC üçgeninin alanı eşittir ABD üçgeninin alanı, artı, şuradaki mor üçgen, yani BCD üçgeninin alanıdır. İşimizi kolaylaştırmış olduk, çünkü dik üçgenlerde alan bulmayı biliyoruz. Daha biraz önce öğrendik. -Burası 90 derece ve burası da 90 derece oldu- Dik üçgenlerde alan neydi ½ çarpı taban çarpı yükseklik. ABD üçgeninin alanı ½ çarpı AD, yani üçgenin tabanı, çarpı BD yani yükseklik. Bu mavi üçgenin alanı. Şimdi mor olanınkini bulalım. bunu da Mor la yazalım. BCD üçgeninin alanı da 1/2 çarpı, DC, yani üçgenin tabanı, çarpı BD, yani üçgenin yüksekliği Her iki ifadede de ortak olan 1/2 çarpı BD ifadesi değil mi o zaman bunu ortak paranteze alırsak ½ çarpı BD, parantez içerisinde AD, aynı maviyle yazayım, AD artı DC ifadesi bize ABC üçgeninin alanını verir. Bu denklemde parantez içindeki AD, şurası, artı DC, ifadesi ABC üçgeninin tabanı AC yi oluşturmaktadır Öyleyse ABC üçgeninin alanı eşittir,- yeni bir renkle yazayım buray- ı, eşittir ½, -burada sıralamayı biraz değiştirerek yazıyorum-,1/2 çarpı AC çarpı BD. O halde ABC üçgeninin alanı 1/2 AC yani taban, çarpı BD yani yüksekliktir. Böylece ½ çarpı taban çarpı yükseklik denklemi ortaya çıkıyor.Aynı dik üçgenlerde olduğu gibi. Fakat BD bu üçgende bir kenar değil.BD nin uzunluğwunu bildiğimiz takdirde bu işlemi çözebiliriz. Peki şöyle geniş açılı bir üçgende alanı nasıl bulabiliriz? Geniş açılı üçgenlerde de aynı işlemi uygulayabiliriz Ama bu sefer üçgenin dışında bir dik üçgen oluşturacağız. üçgenin dışında bir dik üçgen... Şöyle yapalım... A noktasından bir dikme inelim ve bu dikmeyi de C noktasıyla birleştirelim, birleştikleri yer D noktası olsun Bulmak istediğimiz alan ABC nin alanı. O zaman ABC nin alanı eşittir, ADB nin alanı eksi, şuradaki küçük üçgenin yani ADC nin alanı. ADB üçgeni, buraya maviyle işaretliyorum ki karışmasın-, büyük olan üçgen. ADB üçgeninin alanı, ½ çarpı tabanı, yani DB, çarpı yüksekliği, yani AD'dir. Bundan da küçük olan ADC üçgenin alanını çıkaracağız, o da; ½ çarpı, üçgenin tabanı, yani DC çarpı, yüksekliği yani AD'dir Bu denklemi ½ çarpı AD ortak parantezine alalım. ½ çarpı AD çarpı parantez içinde DB eksi DC DB eksi DC ifadesi de bize üçgenin tabanını yani CB uzunluğunu veriyor O halde ABC üçgeninin alanı, ½ çarpı CB,- burada çarpmanın sıralamasını değiştirerek yazacağım,sarıyla yazayım- çarpı CB,- burada çarpmanın sıralamasını değiştirerek yazacağım,sarıyla yaza 1/2 çarpı CB çarpı AD dir. Geniş açılı üçgenlerde yükseklik üçgenin dışında olabilir, bunu indiğimiz dikmelerle bulabiliriz. Sonuç olarak bütün üçgenlerin alanının, ½ çarpı taban çarpı tabana inen yükseklik şeklinde Dikkat etmemiz gereken nokta; dik üçgende yükseklik kenarlardan biri iken, diğer üçgenlerde yüksekliği tabanlara dikme inerek bulmamız gerekmektedir. hepsi bu..