İspat: Benzerlik Yoluyla Pisagor Teoremi

Bu bir dik üçgen, zira 90 derecelik bir açısı var. Bir dik üçgenin en uzun kenarına da hipotenüs deniliyor. Bu aynı zamanda tabi ki dik açının karşısına denk düşen kenar. Hipotenüs, çok havalı bir laf değil mi? Hipotenüs... Tekrarlamakta fayda var, dik üçgenin en uzun kenarına yani dik açısının karşısındaki kenara hipotenüs deniliyor. Bu videoda dik üçgenin kenarları ve onların uzunlukları hakkında çok bilinen bir ilişkiden bahsedeceğim bir çoğunuz bunun ne olduğunu zaten biliyordur. Şimdi AC kenarına a BC kenarına da b diyelim. Hipotenüse, yani AB kenarına da c diyelim. Bakalım a, b ve c arasında bir ilişki kurabilecek miyiz. Bu ilişkiyi kurmak için ilk önce başka bir doğru, başka bir kısım ekleyeceğiz. Bu doğruyu C noktasından hipotenüse doğru 90 derecelik bir açıyla çekeceğiz. Hipotenüsdeki bu noktaya da D noktası diyelim. Bunu rahatlıkla yapabileceğimizi göstermek için basit de olsa bir kanıt vereyim; diyelim ki üçgenimizi çevirdik ve artık hipotenüsü üzerinde duruyor. Artık burası B noktası burası A noktası burası da C noktası. Şimdi C noktasından ipe bağlı bir taş bir ağırlık sallandırsak, sallandırdığımızda hipotenüse dik bir açıyla düşecektir değil mi? CD doğrumuzu çizerken de farklı bir şey yapmadık. Bu CD doğrusu ve D noktası eklentilerini yaptıktan sonra, artık elimizde üç adet üçgen var ve aralarında ilginç bağlar var. Burada ADC üçgenimiz, burada DBC üçgenimiz ve elbette ki bu asıl, büyük üçgenimiz ABC var. Üç tane üçgen. İlk olarak ADC'nin büyük üçgene benzer olduğunu gösterelim. Şimdi ikisinin de dik açıları var ADC'ninki burada yanındaki açı 90 derece olduğuna göre bu da 90 derece olmalı zira 180'e tamamlanmalılar değil mi? Evet, iki üçgenin de dik açıları var, ayrıca ortak bir açıları var, nereden baktığınıza göre değişir. DAC ya da BAC açısı. O halde, mavi renkli açıyla başlayıp dik açıyla devam ederek kurduğumuz ADC üçgeninin yine aynı şekilde mavi renkli açıyla başlayıp dik açıyla devam ederek kurduğumuz ACB üçgenine benzer olduğunu yazabiliriz. Ve bu üçgenler benzer oldukları için kenarlarının oranı arasında bir bağıntı kurabiliriz. Zira benzer üçgenlerde denk düşen kenarların oranlarının sabit olduğunu biliyoruz. Öyleyse bu küçük üçgenin hipotenüsü olan AC'nin büyük üçgenin hipotenüsü olan AB'ye oranı birbirlerine denk kenarlar olan AD'nin AC'ye oranına eşit olacak. Gayet basit değil mi? Bakın şimdi, AD kenarı mavi açı ile dik açının arasında AC kenarı da mavi açı ve büyük üçgenin dik açısının arasında. Yani aşağıdakilerin ikisi de büyük üçgenden yukarıdakiler ise küçük üçgende, büyük üçgene denk gelen kısımlar. Görsel olarak anlamak güç geliyorsa, benzerlik denklemini doğru bir şekilde yazalım ve benzer noktaları yine bulabiliriz. AC, büyük üçgendeki AB'ye benzer. Küçük üçgenin AD kenarı ise büyük üçgenin AC kenarına benzer. AC kenarına şimdi ne demiştik? a demiştik. AD'ye bir isim vermedik ama AB'ye c demiştik. Hadi AD'ye de d diyelim. Evet, d burası c ise burası. DB'ye de e diyelim, işimiz kolaylaşsın. O halde a bölü c d bölü a'ya eşit. Şimdi içler dışlar çarpımı yaparsak, ne olacak? a kare eşittir cd olacak değil mi? Bu ilginç bir sonuç. Bakalım buradaki diğer üçgenle ne yapabiliriz. Bir kez daha, iki üçgenin de birer dik açısı ve bir ortak açısı bulunuyor. Demek ki açıların benzerliğinden ötürü iki üçgen benzer olacak. Şimdi buradaki pembe ile çizdiğimiz açıdan başlayıp dik açıyla devam ederek yazdığımız oluşturduğumuz BDC üçgeni yine pembe açı ve dik açı sıralamasıyla oluşturduğumuz büyük üçgen BCA'ya benzerdir. Şimdi aralarındaki ilişkiye bir bakalım. Küçük üçgendeki BC'nin büyük üçgendeki BA'ya oranı, yani üçgenlerin hipotenüslerinin oranı, BD'nin BC'ye olan oranına eşit olacak. Denk düşen kenarları şimdi yazıyorum. Bir kez daha yine karşımıza çıkan BC kenarına b demiştik BA ise c idi. BD'ye e dedik. İçler dışlar çarpımını yaptığımızda b kare eşittir ce oldu. Evet, şimdi eğlenceli bir şeyler yapmaya başlayabiliriz. Bu iki denklemi birleştirelim mesela. Topladığımızda, ne olacak? a kare artı b kare eşittir cd artı ce. Bu iki terimde de c olduğuna göre bunu çarpanlarına ayırabiliriz. Yani denklemin sağ tarafı, ne olacak o zaman? c parantez içinde d artı e'ye eşit oldu. Peki d artı e nedir? Bakalım, d bu kenar e de bu. Yani d artı e, kısacası c'ye eşit. O halde burada (d artı e)'nin yerine c koyduğumuzda elimizde c kare olacak. Ve işte o meşhur sonucumuz geldi. a kare artı b kare eşittir c kare. Evet, yeni bir renkle tekrar yazayım şunu. Bu herhangi bir dik üçgendi, formülümüz her dik üçgen için geçerlidir. Dik üçgende küçük kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu kanıtlamış olduk. Bu matematik tarihinin en bilinen teoremlerinden bir tanesi ve ismi Pisagor'dan geliyor ama formülü ilk keşfeden o muydu bilemiyoruz. Pekala, tekrar yazalım, Pisagor Teoremi. Geometrinin temelinde bu formülün yattığını söylemek neredeyse abartı olmaz. Aynı zamanda trigonometrinin de tabii. Sonuç olarak, bir dik üçgende kenarların ikisinin uzunluklarını biliyorsanız, üçüncüsünü her zaman rahatlıkla bulabilirsiniz.