Ortak Yükseklik Merkezi ve Ağırlık Merkezi

Bir üçgenin yükseklik merkeziyle ağırlık merkezinin aynı nokta olması durumunda üçgenin eşkenar olduğunu ispatlamamız isteniyor. Ne güzel. Üçgenimiz burada ve yükseklik merkeziyle ağırlık merkezinin aynı nokta olduğunu varsayacağız. Hatırlarsak, yükseklik merkezi üçgenin üç yüksekliğinin kesiştiği nokta. Ağırlık merkezi de kenarortayların kesiştiği noktadır. Bu üç doğrunun hem yükseklik hem de kenarortay olduğunu varsayabiliriz. Ve bu noktanın da hem yükseklik merkezi, hem de ağırlık merkezi olduğunu düşünebiliriz. Eğer bunların yükseklik olduğunu varsayarsak karşı kenarlara dik oldukları sonucuna varırız. Yani bu, 90 derecelik bir açı ve bunlar da 90 derece. Ağırlık merkezi olması da, bu doğruların her birinin karşı kenarı iki eşit parçaya bölmesini gerektiriyordu değil mi. Yani bu uzunluk şu uzunluğa eşittir. Bu uzunluk da şu uzunluğa eşittir. Ve bu da şuna eşittir. Şöyle de diyebiliriz, bu doğruların her biri kenarların orta dikmesidir. Yani bu nokta sadece yükseklik merkezi ve ağırlık merkezi değil, aynı zamanda üçgenin çevrel merkezidir. Varsaydığımız her şeyi üçgen üzerinde göstermiş olduk. Şimdi bu üçgenin eşkenar olduğunu ispatlayalım. Burayı harflerle işaretleyeyim ki, üçgenin elemanlarını daha iyi belirtebilelim. A B, C, D, E ve F Ağırlık merkezine de G diyelim. Evet ilk olarak AFG üçgenine bakalım AFG ve EFG AFG ve EFG üçgenlerine bakalım. AFG üçgeniyle EFG üçgenini karşılaştıralım. Ortak bir kenarları var. EF kenarıyla AF kenarı birbirine eş. Ve EFG açısıyla AFG açısı aynı, ikisi de 90 derece. Aynı zamanda iki üçgen de FG kenarını paylaşıyorlar değil mi. Bu kenar ikisine birden ait. Karşılıklı iki kenar eş ve bu eş kenarların aralarındaki açı da eş olduğundan Kenar-Açı-Kenar aksiyomuna göre bu iki üçgen eş olur. Ne güzel. Aynı argümanı kullanarak, bütün bu çiftlerin ortak kenar, eş kenar ve 90 derecelik açı sebebiyle eş üçgenler olduğunu söyleyebiliriz. EDG üçgeni CDG üçgeniyle eş olur. Aynı argümanı kullanarak, CBG üçgeninin de ABG, ABG üçgenine eş olduğunu söyleriz. Ayrıca eş üçgenlerde karşılıklı tüm kenar ve açıların eş olduğunu biliyoruz. Örneğin bu açı maviyse bu üçgendeki eşleşen açı da aynı ölçüde olacak. Aynı mavi işareti koyayım şimdi. Şuradaki mor açı ise, AFG üçgeninde ona karşı gelen açıyla aynı ölçüye sahip olacak. Yine o zaman morla işaretleyelim. Ve şimdi de ters açıların özelliklerinden bildiğimiz üzere, AFG ve DGC açılarının ölçüleri de aynıdır. Çünkü bunlar ters açı. CDG üçgeninin EDG üçgeniyle eş olduğunu da biliyoruz. Yani karşılıklı açılar eş olacak. Eğer bu açı mor ise şu açı da mor olacak. Yine ters açılar görüyoruz burada değil mi. Bu mor ise, bunun da ölçüsü aynı olacak. Bu ikisinin de açısı aynı olacak. Eş üçgenlerde karşılıklı açıların eş olduğu bilgisini ve ters açı özelliklerini kullanarak bu iç açıların hepsinin aynı olduğunu gördük. Bu nedenle şimdi bu mor işareti kullanıyorum. Bu üçgeni ikiye bölersek, 90 derecelik bir açı ve mor işaret var, mor açı var. Geriye kalan açı ise, 180 eksi 90 eksi mor işaret, mor açı olacak. Yani 90 eksi bu mor açı, mavi açıyı verecek. Mavi açı eşittir 90 eksi mor açı. Mavi açı bu üçgenlerin üçüncü açısı. Söylediğimiz şey şu: Bir üçgenin iki açısını biliyorsanız, üçüncü açıyı bulabilirsiniz. Bu 6 üçgenin ortak iki açıları olduğunu biliyoruz, 90 derecelik açı ve mor açı. O zaman üçüncü açı da her üçgen için aynı olmalı. Bunu da bu mavi açıyla belirtiyoruz. Şimdi EAC açısına bakarsak iki mavi açıdan oluştuğunu görebiliyoruz. Yani ACE açısı eştir yani iki mavi açı. Bu da CEA açısıyla eştir iki mavi açı. Yani bu üçgendeki üç iç açının eş olduğunu göstermiş olduk ve buna göre, bu, bir eşkenar üçgendir. Her açısının ölçüsü 60 derecedir. Daha önce, açılar eş olduğunda kenarların da eş olacağını ispatlamıştık.