If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Bağlandığınız bilgisayar bir web filtresi kullanıyorsa, *.kastatic.org ve *.kasandbox.org adreslerinin engellerini kaldırmayı unutmayın.

Ana içerik
Güncel saat:0:00Toplam süre:5:42

Dik Üçgenin Çevrel Merkezi

Video açıklaması

Bu derste, bir dik üçgenin çevrel çember merkezinin aslında hipotenüsün orta noktası olduğunu kanıtlayacağız. Bunun için, öncelikle bu dik üçgenin bir dik kenarının orta dikmesini inceleyeceğiz. Öyleyse BC kenarının orta dikmesini çizelim. Şöyle bir şeye benzeyecek. Bu doğru parçası, BC kenarını tam ortadan doksan derecelik açı ile keser. Bu B noktası B'den bu noktaya, bu noktaya M diyelim. M orta noktadır. B'den M'ye olan uzunluk, M'den C'ye olan uzunlukla aynı. Yani, bu iki uzaklık eşit olacak. Orta dikmenin hipotenüsü kestiği noktaya da O diyelim. O'nun bu dik üçgenin çevrel çemberinin merkezi olduğunu ispatlayacağız. Farkına varabileceğiniz ilk husus bunu daha önce birçok soruda gördük OBM üçgeninin ABC üçgenine benzer olduğu. Bunu kanıtlamak çok da zor değil ikisinin de doksan derecelik açısı var. Eğer iki üçgenin başka karşılıklı eş açısı olduğunu gösterirsek, o zaman açı-açı özelliğine göre benzer oldukları sonucuna varabiliriz. İkisi de şuradaki açıyı paylaşıyor, değil mi? OBC küçük üçgenin bir parçası ABC de, aslında, aynı açı ve büyük üçgenin bir parçası. İkisi de aynı zamanda doksan derecelik bir açıya sahip olduğu için, Açı-Açı üçgen benzerliğine göre, OBM üçgeni ABC üçgenine benzerdir. Bunun faydası ise, benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların sabit bir oranda olduğunu bilmemiz. Yani küçük üçgen üzerindeki BM kenarıyla büyük üçgendeki BC kenarı arasındaki oran iki üçgenin hipotenüsleri arasındaki oranla aynı. BM'nin BC'ye oranı, BO'nun BA'ya oranına eşit. Çünkü bu üçgenler benzer. BM'nin BC'ye oranını biliyoruz BM, BC'nin yarısı Buna göre, bu oran 1 bölü 2 olacak. M bu kenarın orta noktası yani bu uzaklık şu uzaklıkla aynı. Eğer 1 bölü 2 eşittir BM bölü BC buda eşittir BO bölü BA ise o zaman, şu orta kısmı yok sayarsak, 1 bölü 2 eşittir BO bölü BA deriz. İçler dışlar çarpımı alırsak, BA eşittir 2 BO buluruz. Veya iki tarafı 2'ye bölersek, buna denk bir ifade çıkar. Yani yarım BA eşittir BO olur. Yani kısaca BO, BA'nın yarısıdır. Bu BA'nın yarısı. Bu diğer uzunluk, AO uzunluğu BA eksi 1 bölü 2 BA. Yani, bu da 1 bölü 2 BA olacak. Buna göre, buradaki doğru parçası, AO OB'ye eş olacak. Ve böylece, ilk olarak, bu orta dikmenin BC'nin orta dikmesinin, dik üçgenin hipotenüsünü orta noktada kestiğini gösterdik. O'nun AB hipotenüsünün orta noktası olduğunu saptamış olduk. Bu da, kendi içinde, gayet ilginç. Ayrıca, orta dikme üzerindeki bir noktanın doğru parçasının bitim noktalarından eşit uzaklıkta olduğunu da biliyoruz bunu daha önceki bir videoda göstermiştik. Buna göre, OB'nin OC'ye eşit olduğunu da biliyoruz. Buradaki birinci ifadeden ise, OB'nin aynı zamanda OA'ya eşit olduğunu biliyoruz. OB OA'ya eşit OB OC'ye eşit ise, buna göre OC eşittir OA.OC OA'ya eşit olmalı. Veya başka bir şekilde düşünürsek, bu O noktası, üçgenin tüm köşelerinden eşit uzaklıktadır. Buna göre, bu uzaklık ki çevrel çemberin yarıçapı olacak şu uzaklıkla ve buradaki uzaklıkla aynı. Böylece O'nun tüm köşelere eşit uzaklıkta olduğunu biliyoruz. Bunun anlamı da, O'nun çevrel çemberin merkezi olmasıdır. Ve böylece, dik üçgenin çevrel çemberinin merkezinin hipotenüsün orta noktası olduğunu ispat ettik. Veya başka bir deyişle, dik üçgenin hipotenüsünün çevrel çemberin merkezini kapsadığını. Çünkü, herhangi bir üçgenin bir tek çevrel çember merkezi vardır.