Uzaklık Formülü

Bu videoda x,y koordinat düzlemimizdeki herhangi iki nokta arasındaki uzaklığı bulmayı göstereceğiz. Daha sonra göreceğiz ki uzaklık almak, yani uzaklığı bulmak sadece pisagor teoreminin bir uygulamasıdır. Haydi bir örnekle başlayalım. Diyelimki elimde bir nokta var. Daha kalın bir renk kullanayım ki grafik kağıdının üzerinde noktayı rahat görün. Elimde 3'e, eksi 4 noktası olsun.Grafik üzerinde bakalım. 1,2,3 ve ondan sonra da 4 birim aşağıya ineceğiz. 1, eksi 2 eksi 3, eksi 4 bakın tam burada. 3'e, eksi 4. Ayrıca ikinci noktada 6'ya ,0 noktası da olsun. 1,2,3,4, 5,6. y değerinde hiçbir değişimimiz yok. Yani noktamız sadece x eksininde duruyor. Y koordinatı 0, yani 6'a, 0 burası. Bu iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak istiyorum. Mavi nokta turuncu noktadan ne kadar uzakta? Başlarda, Sal daha önce uzaklık bulmayı bu şekilde yapmamıştım. Pisagor teoreminden neden bahsediyorsun ki? Burada üçgen bile yok! diyebilirsiniz.. Eğer üçgen göremiyorsanız durun ben size bir tane çizeyim. Üçgenimi buraya çiziyorum. Burada birkaç renk birden kullanayım ki belli olsun. Bu bizim üçgenimiz evet. Hemen fark etmişsinizdir, ki bu bir dik üçgen. Tam burada bir dik üçgen var. Taban direk sola sağ taraf da direk yukarı çıkmış. Taban ve yüksekliklerin uzunluklarını bulacağız. Sonra bu uzunlukları pisagor teorisine koyarak hipotenüsü bulcağız. Tam buradaki uzunluk üçgenimizin hipotenüsü. Kenara yazayım, uzaklık eşittir bu üçgenin hipoteüsü evet. Burası hipotenüs. Direk yukarı çıkan bir kenarımız var. Ve bir tabanımız var. Bu uzaklığa "d" diyelim "d".Dedenin "d" si. Bu hipotenüsümüzün uzunluğu olsun. Peki taban ve yüksekliğin uzunluklarını nasıl bunacağız? ilk önce tabanla başlayalım. Bu uzunluk ne kadardır? Grafik üzerinde sayarak yapabilirsiniz ama burada x eşittir... X eşittir 3 ve diğer x de eşittir 6 değil mi? Sadece sağa doğru ilerlemiş. Buradaki uzunlukla o uzunluk aynıdır o zaman. Yani uzunluğu bulmak için... Burası bitiş noktası olsun. Aslında iki tarafa da gidebilirsiniz çünkü sayıların kareleri alındığı zaman eksili değer elde edip etmemeniz önemli değil. Çünkü eksi değerlerin karesini alsanızda zaten pozitif çıkacak. Neyse yani uzaklık 6, eksi 3 değil mi? Uzaklık 3'e eşit. Tabanı bulduk. Bu x deki değişimdir. Bitiş noktasındaki x'den başlangıç noktasındakini x'i çıkarıyoruz. 6, eksi 3. Bu ne demek delta x demek değil mi? Bu delta x'e eşit. Delta değişim demekti hatırlıyoruz değil mi? Aynı sebepten dolayı yükseklik y'deki değişim olacak. Yukarıda y eşittir 0. Burası daha yukarıdaki y noktası ve bitiş noktası. Ve burada y eşittir eksi 4. Demek ki değşim 0 eksi, eksi 4. Sadece büyük y değeri eksi küçük y değeri yapıyorum. Aynsı x için de geçerli. Ancak hemen karelerini alacağımız için aslında hiç fark olmadığını görceksiniz. Bu 4 e eşit çıkıyor. Bu kenar da 4 e eşitmiş. Eğer isterseniz grafik üzerinde sayabilirsiniz. Bu kenar da 3'e eşit. Şimdi pisagor teoremini yapabiliriz.Uzaklıkların kareleri alınacak dikkat edin. İki nokta arasındaki uzaklığın karesi delta x in karesi artı delta y nin karesi olacak. Fazla bir şey yok. İnsanlar bazen buna uzaklık formülü diyorlar ama aslında bu sadece pisagor teoremi. Yani bu kenarın karesi artı şu kenarın karesi hipotenüsün karesine eşittir çünkü bu bir dik üçgen. Bu kadar basit. Elimizde olan sayıları yerlerine yazalım. Uzaklığın karesi 3 ün karesi artı 4 ün karesine eşit olacak. yani 3'ün karesi 9 artı 4'ün karesi 16 eşittir 25. Yani uzaklığın karesi 25 e eşit. Eksili uzaklık alamazsınız çünkü negatif uzaklık diye bir şey olamaz. Yani 25 pozitif 5'in karesidir. Demek ki buradaki uzaklığımız 5 birimmiş. Orijinal problemize geri dönersek bu nokta ile şu nokta arasındaki uzaklıkğı soruyordu bize değil mi? Uzaklığımız 5 birimdir. Uzaklık formülü dedikleri ve burada gördüğünüz şey aslında pisagor teoremi. Birçok formüle maruz kalabilirsiniz bazen. Derler ki elinde iki nokta olsun bu belirli noktalardan biri x1 y1 diğeri ise x2 y2 olsun. Bazen bu şekilde bazen başka şekillerde görebilirsiniz. Çok karmaşık bir formül gibi gözükebilir size. Fakat bilmenizi istediğim şey, bu sadece pisagor teoremi uzaklığın karesi eşittir x2 eksi x1 in karesi artı y2 eksi y1in karesidir. Bunu birçok kitapta uzaklık formülü diye görürsünüz. Bunu ezberlemek sadece zaman kaybıdır çünkü bu formülün çıkış noktası sadece pisagor teoremindir başka bir şey değil. Bu x deki değişiminiz. Ve gerçekten hangi x i ilk hangisini son seçtiğiniz hiç de önemli değildir. Çünkü negatif bile çıksa sonuç zaten o negatif sayının karesi pozitif olur. Buradaki ise y deki değişimdir. Sadece formül diyor ki, uzaklığın karesi eşittir... Hatırlayın eğer denklemin iki tarafının da karesini alırsanız kök ortadan kalkar. Uzaklığın karesi delta x in karesi, delta değişim demektir artı delta y nin karesi. Kafanızı karıştırmak istemiyorum. Delta y sadece y'deki değişim demek. Bunu videoda daha önce söylemiş olmam lazım.Bir kaç kere hemde Rastege sayılar seçelim ve bir örnek daha yapalım. Diyelim ki elimde eksi 6 ya eksi 4 noktası var. Peki, 1,2,3,4,5,6... Evet bu nokta ile 1 virgül 7, 1'e, 7 noktası arasındaki mesafeyi bulmak istiyorum Pekala, eksi 6 ya, eksi 4 ve 1'e, 7, eksi 6 ya, eksi 4 ve 1'e, 7 noktaları arasında ki mesafeyi bulacağız. Peki aynı işi yapacağız. Pisagor teoremini kullanacağız. x deki değişim ve y deki değişimi bulacağız ilk olarak. Sonra bu değişimlerin karelerinin toplamı mesafenin iki nokta arasında ki uzaklığın karesine eşit olmuş olacak. Haydi çözelim herhangi bir x i seçebilirsiniz fark etmez. uzaklığın karesi eşittir... x deki değişimimiz kaçtı ilk onu bulalım. Evet haydi büyük x eksi küçük x yapalım. 1 eksi , eksi 6. 1 eksi , eksi 6. artı 7'deki değişim büyük y değerimiz burada. 7. 7eksi , eksi 4. 7 eksi , eksi 4 ün karesi. Rakamları rastgele seçtim o yüzden düzgün bir sayı çıkmayabilir. Neyse 1 eksi , eksi 6 yani 7, 7'nin karesi, sayarsanız görürsünüz. 1,2,3,4,5,6,7. Bu x deki değişimimiz. artı 7 eksi, eksi 4. 11. Bunu da sayabilirisiniz. 11 birim yukarı çıkacağız. 7 eksi , eksi 4 ten 11 birim uzaklık elde ediyoruz tamam. Yani artı 11'in karesi uzaklığın karesine eşit. Hesap makinesini çıkaralım. Uzaklık 7'nin karesi artı 11'in karesinden 170 e eşittir peki. Bunu karekökü ise uzaklığımız olacak iki noktanın arasında ki uzaklık olacak değil mi? Peki 170'in kare kökünü alırsak 13.04 Yani nereseyse 13 çıkıyor. Tamam. Yani bulmaya çalıştığımız uzaklık, iki nokta arasında ki uzaklıkğımız 13 müş. Nasıl kolay değil mi? Bence bayağı kolaydı.