Geometri İspatı: Kare ve Çemberden Elde Edilen Açılar

ABCD dörtgeninin kare olduğu söylenmiş. Yani 4 kenarın uzunluğu aynı ve tüm iç açılar 90 derece. Ayrıca FG'nin BC'nin orta dikmesi olduğunu biliyoruz. Yani hem dik olduğunu, bunun 90 derecelik açı olduğunu, hem de BC'yi ortadan ikiye böldüğünü biliyoruz. Yani bu uzunluk şu uzunluğa eşit. Ayrıca AC yayının B merkezli bir çemberin bir parçası olduğu da söylenmiş. Bu, B merkezli bir çember. Burası çemberin merkezi. Bu da çemberin parçası. Burası çemberin sol alt köşesi. Evet, bu verilenlere göre BED açısının ölçüsü soruluyor. Peki BED açısı hangisi imiş? Bu. BED açısı bu. Yani buradaki açının ölçüsünü bulmamız gerekiyor. İsterseniz burada videoyu durdurun ve soruyu kendi başınıza çözün. Çözmeyi deneyin en azından. Eğer birinci denemenizde olmazsa, size bir ipucu veriyorum. Bu ipucundan sonra videoyu yine durdurun ve birkaç üçgen çizin. Bu açıyı farklı açılara ayırabilirsiniz. Böyle çözmek daha kolay olabilir. Üçgen bilgimizi de kullanabiliriz. Evet, eğer daha durdurmadıysanız videoyu şimdi soruyu çözmeye çalışacağım. Çözümün devamını getirebileceğinizi düşündüğünüz herhangi bir noktada isterseniz yine videoyu durdurup kendinizi deneyin. Bence böyle daha iyi. Evet, esas konu, bunun bir çember olduğunun farkına varmak. B ile yay üzerinde herhangi bir nokta arasındaki bir doğru parçasının çemberin yarıçapı olduğunu anlamaktır. Evet, yani AB çemberin yarıçapı. BE de çemberin yarıçapı. Şimdi çemberin başka yarıçaplarını da çizebilirim. Mesela BC de yarıçap. Şimdi durup bir düşünelim. Buraya soruyu çözmemize yardımcı olacak bir doğru parçası çizebilirim. Bu zor geometri sorularında doğru çizim yapmalısınız ve doğru üçgenlere odaklanmalısınız. Şimdi EC doğru parçasını çizeyim. Ve ilginç bir durum ortaya çıkacak. EBG üçgeni ile ECG üçgeni arasındaki ilişki nedir? İkisi de bu kenarı paylaşıyorlar. EG kenarını paylaşırlar. Ayrıca BG eşittir GC. Ve ikisinin açısı da 90 derece. Bu açı 90 derece Ve bu da 90 derece. Yani Kenar-Açı-Kenara göre bu iki üçgen eş olacak. EBG üçgeninin ECG üçgenine eş olduğunu biliyoruz. Kenar- Açı -Kenara göre. Buna göre, tüm karşılıklı kenarların ve açıların birbirine eş olduğunu biliyoruz. Yani EC eşittir EB. Ayrıca bu uzunlukta başka hangi doğru parçası bulabilirim? Bunun çemberin yarıçapı olduğunu biliyoruz. Yani BE çemberin merkezinden yaya giden bir yarıçap. BC de öyle. Merkezden yaya giden bir yarıçap. Yani bu BC'ye eşit. Bu üç şeyi de buraya çizebiliriz. BC ile kastettiğim bu doğru parçasının tamamıdır. Peki, şu nasıl bir üçgendir? BEC üçgeni. BEC üçgeni eşkenar bir üçgendir. Eşkenar. Bunu biliyoruz, çünkü 3 kenar birbirine eşit. Buna göre açılar da birbirine eşit. Ozaman BEC açısının 60 derece olduğunu bulduk. Buradaki BEC açısının ölçüsü 60 derece. Bu bize sorunun cevabının bir kısmını veriyor zaten. BEC BED açısının bir parçası. Şimdi CED açısının ölçüsünü bulabilirsek şuradaki açıyı bulabilirsek, buna 60 derece ekleriz ve cevabı buluruz. BED'nin tamamını bulmuş oluruz. Şimdi bunu nasıl bulacağımızı düşünelim. Halihazırda bulduğumuz bazı bilgilerimiz var. Bunun çemberin yarıçapı olduğunu biliyoruz. Bu uzunluğu da biliyoruz. Bu bir kare. Bu uzunluğun şu uzunlukla aynı olduğunu biliyoruz. Bunlar aynı uzunlukta. Ve bu da çemberin yarıçapı. Buraya aynı işareti koyduk. BC bu uzunlukla aynı Şu uzunluk da aynı. Yani 4 kenarın uzunluğu aynı olacak çünkü bu bir kare. Bunu yazalım. Bu kare olduğu için CD'nin BC'ye eşit olduğunu biliyoruz. EB'nin EC'ye eşit olduğunu da zaten biliyorduk. Burada önemli olan bu ve şunun uzunluğunun aynı olduğudur. Bunun ilginç tarafı ise, bu üçgenin ikizkenar olduğunu gösteriyor. İkizkenar üçgende taban açılarının eş olduğunu biliyoruz. Dimi. Bu yeşil açıyla şu açının ölçüsü aynı olacak. Bu şekilde şu açıyı buluruz, 180'den çıkarırız ve 2'ye bölerek şu iki açının ölçüsünü bulabiliriz. Peki, bu açıyı nasıl bulucaz? Bu büyük açıları bulabiliriz. Bunun eşkenar üçgen olduğunu biliyoruz. Yani şu açı da 60 derece olmak zorunda. Bu 60 derece bu da 60 derece dimi.Buraya yazabiliriz. Bu da BCE açısına eşit. BCE açısının ölçüsü 60 derece. Bunun kare olduğunu da biliyoruz. Yani bu açının tamamı dik açı. Peki ECD açısının ölçüsü nedir? Buradaki açı nedir? Bu açı 30 derece olmak zorunda. Yani bu 30 derece olacak. Ve şimdi cevabı bulmaya hazırız. Bu iki taban açısını bulmaya hazırız. Buna x dersek şuna da x dersek, diyebiliriz çünkü ölçülerinin aynı olduğunu biliyoruz. x artı x artı 30 derece ozaman 180 derece diyecez dimi. Çünkü, bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 derece. Ozaman 2x 2 x artı 30 eşittir 180 derece. Güzel... Şimdi iki taraftan 30 çıkaralım nolcak 2 x eşittir 150 kaldı. İki tarafı ozaman 2'ye böleriz ve x eşittir 75. x'in 75 olduğunu bulduk ve şimdi son düzlüğe geldik. BED açısının ölçüsünü bulmamız gerekiyor. x, CED açısının ölçüsüne eşit dimi. Şimdi, BED eşittir CED artı BEC yani 60 derece artı 75 derece. Ozaman da cevap eşittir 75 derece artı 60 derece yani, 135 derece. Ve bitti.