Üçgenlerde Benzerlik

ABC üçgenini, XYZ üçgeniyle karşılaştıralım. Buradakiler bu iki üçgen eş üçgen değiller. farklı kenar uzunlukları olduğunu görebiliriz. Ama eş olmasalar da, bu iki üçgen arasında bir ilişki var. Karşılıklı bütün açıları aynı. Yani, buradaki BAC açısı YXZ açısına, BCA açısı YZX açısına, ABC açısı da XYZ açısına eşit. Yani eşit dereceli açıları var. Ayrıca kenar uzunlukları da birbirlerinin büyütülmüş veya küçültülmüş hali. Yani, XZ uzunluğunu, AC uzunluğu kadar büyütmek için 3 ile çarpmalıyız. -3 katı çünkü- XY uzunluğunu, karşılığı olan AB uzunluğu kadar büyütmek için de 3'le çarpmalıyız. - burası da3 katı- Ve, YZ uzunluğunu da, BC uzunluğu kadar büyütmek için 3'le çarpmalıyız. Yani, ABC üçgeni XYZ üçgeninin, 3 kat büyük şeklidir. Eğer aynı boyda olsalardı eş üçgen olurlardı. ama bu diğerinin büyük şekli, yada bu bunun küçük hali diyebiliriz. Yani, bütün kenarları 3'le çarptığımızda bu üçgeni elde ederiz. yine de bu üçgenlere, eş üçgen diyemeyiz. Aralarında daha farklı bir ilişki var. Bu ilişkiye "benzerlik" denir. Öyleyse yazalım, ABC üçgeni, benzerdir Denk gelen kenarları doğru sırayla yazmalıyız- ABC üçgeni, benzerdir XYZ üçgeni şeklinde yazabiliriz. Buna göre, 3 farklı şekilde üçgenlerin benzer olduğunu görebiliriz. İlk olarak, birini diğerinin küçültülmüş ya da büyütülmüş hali şeklinde düşünebiliriz. - yazalım bunu Büyütülmüş / küçültülmüş hali- Eş olmaları için, döndürüp ters çevirseniz bile, tıpa tıp aynı olmaları gerekir. Benzerlikte ise üçgenleri çevirebilir, kaydırabilir, döndürebilir ve büyütüp küçültebiliriz. Ama yine de benzer üçgen olarak kalırlar. Eğer 2 üçgen eş üçgense; Örneğin, CDE üçgeni, FGH üçgenine eş olsun. O halde CDE üçgeni kesinlikle FGH üçgenine benzerdir diyebiliriz. Biri diğerinin bir katı büyüklüğündedir yani aynısıdır. Ama CDE üçgeni FGH üçgenine benzerdir diyebilmemize rağmen , tersini söyleyemeyiz. Yani, ABC üçgeni benzerdir XYZ , olsa bile, aynı zamanda eş üçgenlerdir diyemeyiz. Bu örnekte gördüğümüz gibi, zaten kesinlikle eş değiller. Benzerliği görebildiğimiz ilk yol bu. Diğer bir yol ise, ortak eş açılarının olmasıdır. Yani, eğer iki üçgen benzerse, eş olan açıları vardır. - ortak eş açılar- Eğer ABC üçgeni benzerdir XYZ üçgenine ise, ABC açısı eşittir XYZ açısı, BAC açısı eşittir YXZ açısı Ve, ACB açısı eşittir XZY açısı diyebiliriz. Eğer bütün açıları eşit iki üçgen varsa, o üçgenler benzerdir. Ya da iki üçgenin benzer olduğu verilmişse, ortak eş açıları olduğunu söyleyebiliriz. Son olarak, kenar uzunlukları birbirlerinin katlarıdır. Yani, kenarlar aynı katsayı ile çarpılmış. Örnekte, 3 katı olduğunu gördük. Tabi ki her zaman 3 olmak zorunda değil. Sadece her kenar için aynı katsayı olmalı. Eğer bu kenarı 3 ile, bu kenarı da 2 ile çarparsak üçgenler benzer olmazlar. Ama her kenarı 7 ile çarparsak, o zaman benzer olurlar. Aynı sayıyla büyütüp küçülttüğümüz sürece benzerlerdir. -Buraya -Buraya üçgenleri daha basit olarak tekrar çizeyim- Bu A, B, C ve bu da X, Y, Z. Daha kolay görebilmek için tekrar çizdim. Bu ikisi benzer dersek, birbirlerine karşılık gelen kenarları birbirinin katı olmak zorunda. AB, XY'ye karşılık geldiğinden, AB eşitir K - K burada herhangibir katsayı- K çarpı XY K 1'den küçük olabilir. Yukarıdaki benzerlik ifadesindeki, sıralama sayesinde, AB nin XY ye karşılık geldiğini biliyoruz. -Öyleyse K çarpı XY- BC uzunluğu içinde aynı katsayıyla çarpmamız gerekiyor. Yani, BC eşittir K çarpı, karşılık gelen kenar, Yani YZ. - aynı kat sayı- AC için de, XZ çarpı aynı kat sayı yani K. ABC üçgeni XYZ'den daha büyükse K, 1'den büyüktür. Aynı boyuttalarsa yani eşlerse K, 1'e eşittir. XYZ, ABC'den büyükse K, 1'den küçüktür. Diğer bir deyişle, karşılık gelen kenar uzunlukları birbirinin katlarıdır. İlk eşitlikte iki tarafı XY'ye bölersek, AB bölü XY .- eşittir K olur. -Yani katsayıyı buluruz İkinci eşitlikte, iki tarafı YZ'ye bölersek, - aynı renkle yapayım- BC bölü YZ eşittir K olur. Verdiğimiz örnekte katsayı 3'tü. Eşitliklerdeki katsayılar aynı olduğu sürece benzer üçgenler diyebiliriz. Son olarak iki tarafı XZ'ye böldüğümüzde de, AC bölü XZ eşittir K. Yani, karşılık gelen kenarlar arasındaki oran bize aynı katsayıyı verir. AB ile XY arasındaki oran, BC ile YZ arasındaki oran, AC ile XZ arasındaki oran. Karşılıklı kenarlar arasındaki oran aynı. Yazalım, AB bölü XY eşittir BC bölü YZ eşittir AC bölü XZ'dir. Bu da katsayı K'ye eşittir. Üçgenlerin benzer olması, biri diğerinin katsayıyla büyütülmüş hali demektir. döndürüp, çevirdiğimizde ya da üçgenleri büyütüp küçülttüğümüzde, karşılık gelen açılar eşit olduğundan, benzer üçgenlerdir benzerdir. Böylece karşılıklı kenarlar arasında sabit bir oran vardır. Hepsi bu...